ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 44

ให้ $\bar{a}, \bar{b}$ และ $\bar{c}$ เป็นเวกเตอร์ในสามมิติ โดยที่ $\bar{a} = \bar{i} + \bar{j}, \bar{b} = 3 \bar{i} - 2 \bar{j} + 3 \sqrt{2} \bar{k}$ เวกเตอร์ $\bar{c}$ ทำมุม $45 °$ และ $60 °$ กับเวกเตอร์ $\bar{a}$ และเวกเตอร์ $\bar{j}$ ตามลำดับ และ $\bar{c} \cdot \bar{k} > 0$ ถ้า $\bar{u}$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ $\bar{c}$ แล้ว $\bar{u} \cdot \bar{b}$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ เวกเตอร์ c ทำมุม 45 ° และ 60 ° กับ เวกเตอร์ a และเวกเตอร์ j ตามลำดับ u มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ c แสดงว่า u ทำมุม 45 ° กับเวกเตอร์ a \to 1 และ u ทำมุม 60 ° กับเวกเตอร์ j \to 2 จากโจทย์ a = i + j จะได้ |a| = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$

$กำหนดให้ u = [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] จากโจทย์ u เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย จะได้ |u| = 1 \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = 1 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 \to 3$

$จาก 1 u ทำมุม 45 ° กับเวกเตอร์ a จะได้ u \cdot a = |u| |a| cosθ [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] = 1 (\sqrt{2}) \cos 45 ° x + y = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}}) x + y = 1 \to 4$

$จาก 2 u ทำมุม 60 ° กับเวกเตอร์ j จะได้ u \cdot j = |u| |j| \cos 60 ° [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] = 1 (1) (\frac{1}{2}) y = 0.5; แทนใน 4 จาก x + 0.5 = 1 x = 0.5$

$จาก 3 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 {(0.5)}^{2} + {(0.5)}^{2} + z^{2} = 1 z^{2} = 0.5 z = \pm \sqrt{0.5} จากโจทย์ u เป็นเวกเตอร์ หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ c จะได้ u = \frac{c}{|c|} c = |c| u$

$จากโจทย์ c \cdot k > 0 จะได้ |c| u \cdot k > 0 u \cdot k > 0 [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] > 0 z > 0 แสดงว่า z = \sqrt{0.5} ดังนั้น u \cdot b = [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 3 \sqrt{2} \end{matrix}]$

$= [\begin{matrix} 0.5 \\ 0.5 \\ \sqrt{0.5} \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 3 \sqrt{2} \end{matrix}] = 0.5 (3) + 0.5 (- 2) + \sqrt{0.5} (3 \sqrt{2}) = 1.5 - 1 + 3 = 3.5$