ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 45

กำหนดให้ $f (x) = 1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{1 + x}}}$ สำหรับจำนวนจริง $x > 0$ ถ้า $a$ เป็นจำนวนจริงบวก ที่สอดคล้องกับ $f (1 + a) + f (2 + a) + f (3 + a) + \dots + f (60 + a) = 2250$ แล้ว $a$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f (x) = 1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{1 + x}}} = 1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{\frac{(1 + x) - 1}{1 + x}}} = 1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{\frac{x}{1 + x}}}$

$= 1 - \frac{1}{1 - \frac{1 + x}{x}} = 1 - \frac{1}{\frac{x - (1 + x)}{x}} = 1 - \frac{1}{- \frac{1}{x}} = 1 - \frac{(- x)}{1} = 1 + x$

$จากโจทย์ f (1 + a) + f (2 + a) + f (3 + a) + \dots + f (60 + a) = 2250$
$จะได้ [1 + (1 + a)] + [1 + (2 + a)] + [1 + (3 + a)] + . . . + [1 + (60 + a)] = 2250 \underset{60 ตัว}{\underset{⏟}{1 + 1 + 1 + . . .}} + (1 + 2 + 3 + . . . + 60) + \underset{60 ตัว}{\underset{⏟}{a + a + a + . . .}} = 2250 \to 1$

$จากสูตร \sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2} จาก 1 จะได้ 60 (1) + 60 \frac{(60 + 1)}{2} + 60 a = 2250 60 + 30 (61) + 60 a = 2250 6 + 3 (61) + 6 a = 225 6 a = 36 a = 6$