ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

ข้อ 1

กำหนดให้ $P$ แทน $2^{67} < 5^{30}$ และ $Q$ แทน $2^{69} > 5^{31}$

ประพจน์ $(Q \leftrightarrow ~ P) \to Q$ มีค่าความจริงตรงกับค่าความจริงของประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้

1
$(Q \land P) \to P$
2
$(P \leftrightarrow Q) \to (P \land Q)$
3
$(~ Q \to P) \to Q$
4
$(P \leftrightarrow ~ Q) \land P$
5
$P \leftrightarrow (~ Q \land P)$

เฉลยข้อสอบ

$ค่า \log ที่ควรจำ \log 2 \approx 0.3 \log 5 \approx 0.7$

$จากโจทย์ P แทน 2^{67} < 5^{30} - เนื่องจากเลขชี้กำลังมีค่ามาก จึงไม่สามารถหาค่าตรงๆ ได้ - โดย 2^{67} และ 5^{30} > 0 สามารถ t a k e ค่า \log ได้$

$จาก 2^{67} < 5^{30}; t a k e \log ทั้ง 2 ข้าง \log 2^{67} < \log 5^{30} 67 \log 2 < 30 \log 5 67 (0.3) < 30 (0.7) 20.1 < 21 เป็นจริง ดังนั้น P \equiv T$

$จากโจทย์ Q แทน 2^{69} > 5^{31} - โดย 2^{69} และ 5^{31} > 0 สามารถ t a k e ค่า \log ได้$

$จาก 2^{69} > 5^{31}; t a k e \log ทั้ง 2 ข้าง \log 2^{69} > \log 5^{31} 69 \log 2 > 31 \log 5 69 (0.3) > 31 (0.7) 20.7 > 21.7 ไม่เป็นจริง ดังนั้น Q \equiv F$

$ประพจน์ (Q \leftrightarrow ~ P) \to Q - แทนค่า P \equiv T, Q \equiv F จะได้ \equiv (F \leftrightarrow ~ T) \to F \equiv (F \leftrightarrow F) \to F \equiv T \to F \equiv F$

$ตรวจสอบในตัวเลือกทั้ง 5 ว่าข้อใดเป็น F ข้อ 1) (Q \land P) \to P \equiv (F \land T) \to T \equiv F \to T \equiv T ข้อ 2) (P \leftrightarrow Q) \to (P \land Q) \equiv (T \to F) \to (T \land F) \equiv F \to F \equiv T$

$ข้อ 3) (~ Q \to P) \to Q \equiv (~ F \to T) \to F \equiv T \to F \equiv F ข้อ 4) (P \leftrightarrow ~ Q) \land P \equiv (T \leftrightarrow ~ F) \land T \equiv T \land T \equiv T$