ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

ข้อ 11

กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลขนาดเดียวกัน $3$ สี สีละ $n$ ลูก เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก สุ่มหยิบลูกบอล $3$ ลูกจากกล่องนี้ โดยหยิบทีละลูก แบบไม่ใส่กลับคืนลงในกล่อง ถ้าความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีละลูก เท่ากับ $\frac{2}{5}$ แล้วความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอล $3$ ลูกโดยมีเพียง $2$ สีเท่านั้นเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{2}{15}$
2
$\frac{4}{15}$
3
$\frac{7}{15}$
4
$\frac{8}{15}$
5
$\frac{9}{15}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ กล่องใบหนึ่งมีลูกบอล 3 สี สีละ n ลูก แสดงว่า จำนวนลูกบอลทั้งหมด = 3 n ลูก จากโจทย์ สุ่มหยิบลูกบอล 3 ลูก โดยหยิบทีละลูก แบบไม่ใส่กลับคืน จะได้ n (S) = 3 n (3 n - 1) (3 n - 2) วิธี \to 1 จากโจทย์ - ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีละลูกเท่ากับ \frac{2}{5}$

$หา จำนวนวิธีที่จะได้ลูกบอลสีละลูก \to n (E) - ลูกแรก หยิบ 1 ลูก จาก 3 n จะได้ (\begin{matrix} 3 n \\ 1 \end{matrix}) - ลูกที่สอง หยิบ 1 ลูก จาก 2 n (เหลือ 2 สี) จะได้ (\begin{matrix} 2 n \\ 1 \end{matrix}) - ลูกที่สาม หยิบ 1 ลูก จาก n (เหลือ 1 สี) จะได้ (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) ดังนั้น n (E) = (\begin{matrix} 3 n \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 n \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) วิธี n (E) = 3 n (2 n) (n) วิธี$

$- ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีละลูกเท่ากับ \frac{2}{5} \to P (E) จะได้ P (E) = \frac{n (E)}{n (S)} \frac{2}{5} = \frac{3 n (2 n) (n)}{3 n (3 n - 1) (3 n - 2)} (3 n - 1) (3 n - 2) = 5 n (n) 9 n^{2} - 9 n + 2 = 5 n^{2}$

$4 n^{2} - 9 n + 2 = 0 (4 n - 1) (n - 2) = 0 n = \frac{1}{4}, 2$

$- แต่ n เป็นจำนวนเต็มบวก แสดงว่า n = 2 ดังนั้น มีลูกบอล 3 สี สีละ 2 ลูก จาก 1 n (S) = 6 (5) (4) จากโจทย์ ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอล 3 ลูก โดยมีเพียง 2 สีเท่านั้นเท่ากับ ?$

$หา จำนวนวิธีที่จะได้ลูกบอล 3 ลูก โดยมีเพียง 2 สี \to n (E) - ลูกบอล 3 สี เลือกมา 2 สี จะได้ (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) - สีแรก; ลูกบอล 2 ลูก เลือก 1 ลูก จะได้ (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) - สีที่สอง; ลูกบอล 2 ลูก เลือก 2 ลูก จะได้ (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) - สลับลูกบอลทั้ง 3 ลูก จะได้ 3!$

$ดังนั้น n (E) = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) 3! n (E) = 3 (2) (2) 3!$

$- ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอล 3 ลูก โดยมีเพียง 2 สีเท่านั้น เท่ากับ P (E) = \frac{n (E)}{n (S)} = \frac{3 (2) (2) 3!}{6 (5) (4)} = \frac{3}{5} = \frac{9}{15}$

$วิธีที่ 2 (คิดจากเหตุการณ์ตรงข้าม) P (E) = 1 - P' (E) \to 1 - โดย P' (E) = P (ได้สีเดียว) + P (ได้ 3 สี) \to 2 P (ได้สีเดียว) = 0 เป็นไปไม่ได้ เพราะแต่ละสีมีเพียง 2 ลูก P (ได้ 3 สี) = \frac{2}{5} (จากข้อมูลในโจทย์)$

$จาก 2 จะได้ P' (E) = 0 + \frac{2}{5} = \frac{2}{5} จาก 1 จะได้ P' (E) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} = \frac{9}{15}$

ข้อถัดไป