ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

ข้อ 21

กำหนดให้ $a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{n}, . . .$ เป็นลำดับเรขาคณิตของจำนวนจริง โดยที่มีผลบวก $5$ พจน์แรกเป็น $275$

ถ้า $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = 243$ แล้วค่าของ $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n - 1}} a_{n}$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$0$
2
$60.75$
3
$121.5$
4
$303.75$
5
$607.5$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตรผลบวกอนุกรมอนันต์ของเรขาคณิต \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} เมื่อ |r| < 1 \to 1 สูตรผลบวกอนุกรมจำกัดของเรขาคณิต \sum_{n = 1}^{n} a_{n} = S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} เมื่อ |r| < 1 \to 2$

$จากโจทย์ a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{n} เป็นลำดับเรขาคณิต \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = 243 จาก 1 จะได้ \frac{a_{1}}{1 - r} = 243 \to 3 เมื่อ |r| < 1$

$จากโจทย์ มีผลบวก 5 พจน์แรกเป็น 275 จาก 2 จะได้ S_{5} = 275 เมื่อ |r| < 1 \frac{a_{1} (1 - r^{5})}{1 - r} = 275 \frac{a_{1}}{1 - r} (1 - r^{5}) = 275; จาก \frac{a_{1}}{1 - r} = 243$

$243 (1 - r^{5}) = 275 1 - r^{5} = \frac{275}{243} r^{5} = \frac{- 32}{243} = {(\frac{- 2}{3})}^{5} r = \frac{- 2}{3}$

$- จากเงื่อนไข |r| < 1 \to |\frac{- 2}{3}| < 1 แสดงว่า r = \frac{- 2}{3} จาก 3 \frac{a_{1}}{1 - r} = 243; แทนค่า r \frac{a_{1}}{1 - (\frac{- 2}{3})} = 243 a_{1} = 243 (\frac{5}{3}) a_{1} = 405$

$จากโจทย์ ค่าของ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n - 1}} a_{n} เท่ากับ ? หาค่า \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n - 1}} a_{n} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n - 1}} a_{n} = \frac{1}{2^{0}} a_{1} + \frac{1}{2^{1}} a_{2} + \frac{1}{2^{2}} a_{3} + . . . \to 4$

$จะได้ พจน์แรก = \frac{1}{2^{0}} a_{1} อัตราส่วนร่วม = \frac{พจน์ลำดับที่ 2}{พจน์ลำดับที่ 1} = \frac{\frac{1}{2^{1}} a_{2}}{\frac{1}{2_{0}} a_{1}} = \frac{1}{2} \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{1}{2} r$

$จาก 1 S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n - 1}} a_{n} = \frac{พจน์แรก}{1 - อัตราส่วนร่วม} = \frac{\frac{1}{2^{n}} a_{1}}{1 - \frac{1}{2} r}$

$- แทนค่า a_{1}, r จะได้ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n - 1}} a_{n} = \frac{\frac{1}{2^{0}} (405)}{1 - \frac{1}{2} (\frac{- 2}{3})} = \frac{405}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{405}{\frac{4}{3}} = 303.75$

ข้อถัดไป