ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

ข้อ 25

กำหนดข้อมูลของประชากรชุดหนึ่ง ดังนี้ $2, 2 + d, 2 + 2 d, 2 + 3 d, . . ., 2 + 30 d$

เมื่อ $d$ เป็นจำนวนจริงบวก ถ้าความแปรปรวนของข้อมูลชุดนี้ เท่ากับ $320$ แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$24.5$
2
$32$
3
$39.5$
4
$47$
5
$54.5$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$- จากข้อมูลของประชากร 2, 2 + d, 2 + 2 d, 2 + 3 d, . . ., 2 + 30 d จะเห็นว่าข้อมูลเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตโดย N = 31 จำนวน$

$- จากสูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิต μ = \frac{\sum x_{i}}{N} μ = \frac{2 + (2 + d) + (2 + 2 d) + (2 + 3 d) + . . . + (2 + 30 d)}{31} = \frac{2 (31) + (d + 2 d + 3 d + . . . + 30 d)}{31} μ = \frac{2 (31) + (1 + 2 + 3 + . . . + 30) d}{31}$

$- จากสูตร \sum_{i = 1}^{N} i = 1 + 2 + 3 + . . . + n = \frac{n (n + 1)}{2} - จากสูตร \sum_{i = 1}^{N} i^{2} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + . . . + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} ∴ μ = \frac{2 (31) + [\frac{30 (31)}{2}] d}{31}$

$μ = 2 + 15 d \to 1 - โจทย์ให้ความแปรปรวนของข้อมูลเท่ากับ 320 ∴ σ^{2} = 320 จากสูตร σ^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{N} {(x_{i} - μ)}^{2}}{N}$

$320 = \frac{{[2 - (2 + 15 d)]}^{2} + {[(2 + d) - (2 + 15 d)]}^{2} + . . . + {[(2 + 30 d) - (2 - 15 d)]}^{2}}{31} = \frac{{(- 15 d)}^{2} + {(- 14 d)}^{2} + . . . + 0 + . . . + {(14 d)}^{2} + {(15 d)}^{2}}{31}$

$= \frac{d^{2} [15^{2} + 14^{2} + . . . + 0 + . . . + 14^{2} + 15^{2}]}{31} = \frac{d^{2} [2 (15^{2} + 14^{2} + 13^{2} + . . . + 2^{2} + 1^{2})]}{31} = \frac{2 d^{2} [\frac{15 (16) (31)}{6}]}{31}$

$320 = 2 d^{2} [\frac{15 (16)}{6}] 160 = d^{2} [\frac{5 (16)}{2}] 10 = \frac{5}{2} d^{2}$
$d^{2} = 4 d = \pm 2 ∴ d = 2 (d เป็นจำนวนจริง) ดังนั้น จาก 1 จะได้ μ = 2 + 15 (2) = 32$

ข้อถัดไป