ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

ข้อ 40

กำหนดให้ $a, b, c$ เป็นจำนวนจริง จัดเรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต โดยที่ $a + b + c = 14$

และ $a, b + 3, c + 4$ จัดเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต

ค่าของ $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a, b, c เป็นลำดับเรขาคณิต จะได้ b = a r, c = a r^{2} เมื่อ r = อัตราส่วนร่วม$

$จากโจทย์ a + b + c = 14 a + a r + a r^{2} = 14 a (1 + r + r^{2}) = 14 \to 1$

$จากโจทย์ a, b + 3, c + 4 เป็นลำดับเลขคณิต จากสูตร d = a_{3} - a_{2} = a_{2} - a_{1} เมื่อ d = ผลต่างร่วม จะได้ a_{3} - a_{2} = a_{2} - a_{1} (c + 4) - (b + 3) = (b + 3) - a c + a = 2 b + 2$

$- โดย b = a r, c = a r^{2} จะได้ a r^{2} + a = 2 a r + 2 a (r^{2} - 2 r + 1) = 2 \to 2$

$นำ \frac{1}{2} \frac{a (1 + r + r^{2})}{a (r^{2} - 2 r + 1)} = \frac{14}{2} 1 + r + r^{2} = 7 (r^{2} - 2 r + 1) 6 r^{2} - 15 r + 6 = 0 2 r^{2} - 5 r + 2 = 0 (2 r - 1) (r - 2) = 0 r = \frac{1}{2}, 2$

$- แทน r = \frac{1}{2} ใน 1 จะได้ a [1 + \frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}] = 14 a (\frac{4 + 2 + 1}{4}) = 14 a = 8$

$แสดงว่า b = a r = 8 (\frac{1}{2}) = 4 c = a r^{2} = 8 {(\frac{1}{2})}^{2} = 2 ดังนั้น (a, b, c) = (8, 4, 2)$

$- แทน r = 2 ใน 1 จะได้ a (1 + 2 + 2^{2}) = 14 a = 2 แสดงว่า b = a r = 2 (2) = 4 c = a r^{2} = 2 {(2)}^{2} = 8 ดังนั้น (a, b, c) = (2, 4, 8)$

$จะเห็นว่า ทั้ง 2 กรณี ได้ตัวเลขชุดเดียวกัน ดังนั้น a^{2} + b^{2} + c^{2} = 8^{2} + 4^{2} + 2^{2} = 84$

ข้อถัดไป