ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2563

ข้อ 22

กำหนดให้ $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ และ $\overset{⇀}{c}$ เป็นเวกเตอร์ในสามมิติ โดยที่ $\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c} = \overset{⇀}{0}$ ถ้า $\overset{⇀}{a} = \overset{⇀}{i} + 2 \overset{⇀}{j}$ และขนาดของเวกเตอร์ $\overset{⇀}{b}$ และ $\overset{⇀}{c}$ เท่ากับ $2$ และ $3$ หน่วย ตามลำดับ แล้ว $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{b} \cdot \overset{⇀}{c} + \overset{⇀}{c} \cdot \overset{⇀}{a}$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$- 18$
2
$- 9$
3
$8$
4
$9$
5
$18$

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร {|\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}|}^{2} = {|\overset{⇀}{a}|}^{2} + {|\overset{⇀}{b}|}^{2} + 2 \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} จาก \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c} = 0 \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c} = - \overset{⇀}{a} \dots 1$

$ดอท \overset{⇀}{a} ตลอด \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{c} = - \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{a} \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{c} = - {|\overset{⇀}{a}|}^{2} \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{c} = - (1^{2} + 2^{2}) \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c} \cdot \overset{⇀}{a} = - 5 \dots 1$

$จาก 1 {|\overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}|}^{2} = {|- \overset{⇀}{a}|}^{2} {|\overset{⇀}{b}|}^{2} + {|\overset{⇀}{c}|}^{2} + 2 \overset{⇀}{b} \cdot \overset{⇀}{c} = {|\overset{⇀}{a}|}^{2} 2^{2} + 3^{2} + 2 \overset{⇀}{b} \cdot \overset{⇀}{c} = 1^{2} + 2^{2} \overset{⇀}{b} \cdot \overset{⇀}{c} = - 4 \dots 2 ดังนั้น \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{b} \cdot \overset{⇀}{c} + \overset{⇀}{c} \cdot \overset{⇀}{a} = - 5 - 4 = - 9 ตอบ 2$