ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2555

ข้อ 34

สำหรับ $n = 1, 2, 3, \dots$ กำหนดให้ $a_{n} = 2 + 4 + 6 + \dots + 2 n$ และ $b_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$

ค่าของ $\lim_{n \to \infty} [\frac{2}{b_{1}} + \frac{3}{b_{2}} + \frac{4}{b_{3}} + \dots + \frac{n + 1}{b_{n}}]$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a_{n} = 2 + 4 + 6 + \dots + 2 n จะได้ a_{n} = 2 (1 + 2 + 3 + \dots + n) = 2 \frac{n (n + 1)}{2} = n (n + 1) = n^{2} + n แสดงว่า a_{i} = i^{2} + i$

$จากโจทย์ b_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} จะได้ b_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = \sum_{i = 1}^{n} (i^{2} + i) = \sum_{i = 1}^{n} i^{2} + \sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} + \frac{n (n + 1)}{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1) + n (n + 1) 3}{6}$

$= \frac{n (n + 1) (2 n + 1 + 3)}{6} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6} แสดงว่า b_{i} = \frac{i (i + 1) (i + 2)}{3} ดังนั้น \lim_{n \to \infty} [\frac{2}{b_{1}} + \frac{3}{b_{2}} + \frac{4}{b_{3}} + \dots + \frac{n + 1}{b_{n}}] = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{i + 1}{b_{1}}$

$= \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{i + 1}{(\frac{i (i + 1) (i + 2)}{3})} = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{3}{i (i + 2)} = 3 \sum_{i = 1}^{\infty} [\frac{1}{i (i + 2)}] = 3 (\frac{1}{2}) \sum_{i = 1}^{\infty} [\frac{1}{i} - \frac{1}{(i + 2)}]$

$= \frac{3}{2} [(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) + . . .] = \frac{3}{2} (\frac{1}{1} + \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} = 2.25$