ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2555

ข้อ 37

กำหนดให้ R แทนเซตของจำนวนจริง ให้ $f : R \to R$ และ $g : R \to R$ เป็นฟังก์ชันโดยที่

1. $(f g) (x) = 2 x + 3$ สำหรับทุกจำนวนจริง x

2. ฟังก์ชัน $f$ และ g มีอนุพันธ์ทุกอันดับสำหรับทุกจำนวนจริง x

3. ฟังก์ชัน $f$ มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ 2 ที่ $x = 1$

4. $g'' (x) = 2$ สำหรับทุกจำนวนจริง x

ฟังก์ชัน g มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ข้อ 3) . ฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ 2 ที่ x = 1 f (1) = 2 และ f' (1) = 0 จากโจทย์ข้อ 1) . (fg) (x) = 2 x + 3 f (x) g (x) = 2 x + 3 \to 1 แทน x = 1 f (1) g (1) = 2 (1) + 3 f (1) g (1) = 5; โดย f (1) = 2 2 g (1) = 5 g (1) = \frac{5}{2}$

$จากโจทย์ข้อ 4) g'' (x) = 2 \int g'' (x) dx = \int 2 dx$

$g' (x) = 2 x + c \to 2 จาก 1 f (x) g (x) = 2 x + 3; ดิฟทั้ง 2 ข้าง \frac{d}{dx} [f (x) g (x)] = \frac{d}{dx} (2 x + 3) f (x) g' (x) + g (x) f' (x) = 2 แทน x = 1 f (1) g' (1) + g (1) f' (1) = 2 โดย f (1) = 2, g (1) = \frac{5}{2}, f' (1) = 0$

$จะได้ 2 g' (1) + \frac{5}{2} (0) = 2 2 g' (1) = 2 g' (1) = 1 จาก 2 จะได้ 2 (1) + c = 1 c = - 1; แทนใน 2$

$จะได้ g' (x) = 2 x - 1; \int dx ทั้ง 2 ข้าง \int g' (x) dx = \int (2 x - 1) dx g (x) = x^{2} - x + d$

$แทน x = 1 g (1) = 1^{2} - 1 + d g (1) = d; โดย g (1) = \frac{5}{2} d = \frac{5}{2}; แทนใน 3 จะได้ g (x) = x^{2} - x + \frac{5}{2} \to 4$

$จากโจทย์ ฟังก์ชัน g มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับเท่าใด g' (x) = 0 2 x - 1 = 0 x = \frac{1}{2}; แทนใน 4 จะได้ g (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = 2.25 ดังนั้น ฟังก์ชัน g มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ 2.25$