ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2555

ข้อ 38

กำหนดให้ $P (x)$ เป็นพหุนามที่สอดคล้องกับ $P (x^{2} + 3) = 3 x^{4} + 24 x^{2} + 40$ และให้ $f (x) = \int_{0}^{x} P (t) d t$

ค่าของ $\lim_{x \to 2} \sqrt{P (x) - f (x)}$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ P (x^{2} + 3) = 3 x^{4} + 24 x^{2} + 40 \to 1 กำหนดให้ a = x^{2} + 3 x^{2} = a - 3 \to x^{4} = {(a - 3)}^{2}; แทนใน 1 จะได้ P (a) = 3 {(a - 3)}^{2} + 24 (a - 3) + 40 = 3 (a^{2} - 6 a + 9) + 24 a - 72 + 40 = 3 a^{2} + 6 a - 5 แสดงว่า P (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5 P (t) = 3 t^{2} + 6 t - 5$

$จากโจทย์ f (x) = \int_{0}^{x} P (t) dt = \int_{0}^{x} (3 t^{2} + 6 t - 5) dt$
$= {\frac{3 t^{3}}{3} + \frac{6 t^{2}}{2} - 5 t}_{0}^{x} = {t^{3} + 3 t^{2} - 5 t}_{0}^{x} = x^{3} + 3 x^{2} - 5 x$

$ดังนั้น \lim_{x \to 2} \sqrt{P (x) - f (x)} = \lim_{x \to 2} \sqrt{(3 x^{2} + 6 x - 5) - (x^{3} + 3 x^{2} - 5 x)} = \lim_{x \to 2} \sqrt{11 x - 5 - x^{3}} = \sqrt{11 (2) - 5 - {(2)}^{3}} = \sqrt{9} = 3$