ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 11

ให้พาราโบลารูปหนึ่ง มีสมการเป็น $y^{2} - 4 y + 40 x - 236 = 0$ โดยมี V และ F เป็นจุดยอด และโฟกัสของพาราโบลาตามลำดับ ถ้าวงรีรูปหนึ่ง ผ่านจุด $(4, 6)$ และมีโฟกัสอยู่ที่ V และ F แล้วสมการของวงรีรูปนี้ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x - 36 y + 140 = 0$
2
$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 36 y - 140 = 0$
3
$4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 36 y - 140 = 0$
4
$9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 x - 8 y - 180 = 0$
5
$9 x^{2} + 4 y^{2} + 36 x - 8 y + 180 = 0$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตรพาราโบลา {(y - k)}^{2} = 4 c (x - h) เมื่อ จุดยอด = (h, k) \to 1 สูตรวงรี \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 เมื่อ จุดยอด = (h, k) \to 2 และ a^{2} = b^{2} + c^{2} \to 3 จากโจทย์ พาราโบลารูปหนึ่งมีสมการเป็น y^{2} - 4 y + 40 x - 236 = 0$

$จัดรูป y^{2} - 4 y + 40 x - 236 = 0 y^{2} - 2 (y) (2) + 2^{2} = - 40 x + 236 + 2^{2} {(y - 2)}^{2} = - 40 (x - 6) {(y - 2)}^{2} = 4 (- 10) (x - 6) จาก 1 จะได้ c = - 10, (h, k) = (6, 2) เป็นพาราโบลาเปิดทางซ้าย (c < 0) ลองวาดรูป พาราโบลา$

$จากโจทย์ มี V และ F เป็นจุดยอด และโฟกัสของพาราโบลาตามลำดับ จะได้ มีจุดยอด (h, k) = V (6, 2) จุดโฟกัส = F (6 + (- 10), 2) = F (- 4, 2) จากโจทย์ วงรีรูปหนึ่ง ผ่านจุด (4, 6) และมีโฟกัสอยู่ที่ V และ F จะได้ โฟกัสของวงรี คือ F_{1} (6, 2), F_{2} (- 4, 2)$

$และ จุด ศ . ก . ของวงรี = จุดกึ่งกลางของ F_{1} (6, 2) และ F_{2} (- 4, 2) = (\frac{6 + (- 4)}{2}, \frac{2 + 2}{2}) = (1, 2) c = 6 - 1 c = 5 ดังนั้น วงรีมีจุดศูนย์กลาง (h, k) = (1, 2) และ c = 5 ลองวาดรูป วงรี$

$นิยามของวงรี ผลบวกของระยะทางจากจุด ใดๆ ที่อยู่บนวงรี ไปยังจุดโฟกัส F_{1} และ F_{2} เท่ากับ 2 a แสดงว่า ผลบวกของระยะทางจากจุด (4, 6) ไปยัง F_{1} (6, 2) และ F_{2} (- 4, 2) = 2 a$
$\sqrt{{(4 - 6)}^{2} + {(6 - 2)}^{2}} + \sqrt{{[4 - (- 4)]}^{2} + {(6 - 2)}^{2}} = 2 a \sqrt{20} + \sqrt{80} = 2 a 2 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} = 2 a a = 3 \sqrt{5} จาก 3 a^{2} = b^{2} + c^{2}; แทนค่า a, c$
$จะได้ {(3 \sqrt{5})}^{2} = b^{2} + 5^{2} 45 = b^{2} + 25 b^{2} = 20 จาก 2 \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1; แทนค่า (h, k), a, b$
$จะได้ \frac{{(x - 1)}^{2}}{45} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{20} = 1; คูณ 180 ทั้ง 2 ข้างสมการ 4 {(x - 1)}^{2} + 9 {(y - 2)}^{2} = 180 4 (x^{2} - 2 x + 1) + 9 (y^{2} - 4 y + 4) = 180 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 36 y - 140 = 0 ดังนั้น สมการวงรี คือ 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 36 y - 140 = 0$