ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 12

กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจำนวนตรรกยะ
ให้ $Ρ (x) คือ 8 x^{3} - 4 x - 1 = 0$
$Q (x) คือ 8 x^{4} - 8 x^{2} + x + 1 = 0$
และ $R (x) คือ x^{3} + x^{2} > 0$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้
$(ก) \exists x [P (x) \land Q (x)] มีค่าความจริงเป็นจริง (ข) \forall x [Q (x) \to R (x)] มีค่าความจริงเป็นจริง (ค) \forall x [P (x) \to R (x)] มีค่าความจริงเป็นจริง$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
ข้อ (ก) ถูกเพียงข้อเดียว
2
ข้อ (ข) ถูกเพียงข้อเดียว
3
ข้อ (ค) ถูกเพียงข้อเดียว
4
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตร {ax}^{2} + bx + c = 0 จะได้ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2 a} \to 1 พิจารณาหาจำนวนจริงของ P (x), Q (x) และ R (x) จากโจทย์ P (x) คือ 8 x^{3} - 4 x - 1 = 0 จะได้ - \frac{1}{2} \begin{matrix} 8 0 - 4 - 1 \\ - 4 2 1 \end{matrix} 8 - 4 - 2 0$

$(x + \frac{1}{2}) (8 x^{2} - 4 x - 2) = 0 2 (x + \frac{1}{2}) (4 x^{2} - 2 x - 1) = 0 จะได้ x + \frac{1}{2} = 0 หรือ 4 x^{2} - 2 x + 1 = 0; จาก 1 x = - \frac{1}{2} x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2 a}$

$เป็นจำนวนตรรกยะ x = \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 (4) (- 1)}}{2 (4)} x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8} x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4} (ใช้ไม่ได้ เพราะเป็นจำนวนอตรรกยะ) ดังนั้น x = - \frac{1}{2}$

$จากโจทย์ Q (x) คือ 8 x^{4} - 8 x^{2} + x + 1 = 0 จะได้ \begin{matrix} - 1 \end{matrix} \begin{matrix} 8 0 - 8 1 1 \\ - 8 8 0 - 1 \end{matrix} 8 - 8 0 1 0 (x + 1) (8 x^{3} - 8 x^{2} + 1) = 0 \frac{1}{2} \begin{matrix} 8 - 8 0 1 \\ 4 - 2 - 1 \end{matrix} 8 - 4 - 2 0 (x + 1) (x - \frac{1}{2}) (8 x^{2} - 4 x - 2) = 0 2 (x - 1) (x - \frac{1}{2}) (4 x^{2} - 2 x - 1) = 0$
$จะได้ x + 1 = 0 หรือ x - \frac{1}{2} = 0 หรือ 4 x^{2} - 2 x - 1 = 0 x = - 1 x = \frac{1}{2} x = \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 (4) (- 1)}}{2 (4)} เป็นจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4} ใช้ไม่ได้ เพราะเป็นจำนวนอตรรกยะ$

$ดังนั้น x = \frac{1}{2}, - 1 จากโจทย์ R (x) คือ x^{3} + x^{2} > 0 จะได้ x^{2} (x + 1) > 0; เขียนเส้นจำนวน (กำลังคู่เขียน 2 ครั้ง)$

$(- 1, 0) \cup (0, \infty) ดังนั้น x เป็นจำนวนตรรกยะที่มีค่ามากกว่า - 1 และไม่เท่ากับ 0 พิจารณาข้อความ$
$P (x) เป็นจริง คือ x = - \frac{1}{2} Q (x) เป็นจริง คือ x = - 1, \frac{1}{2} R (x) เป็นจริง คือ x = (- 1, 0) \cup (0, \infty) (ก) จากโจทย์ \exists x [P (x) \land Q (x)] แสดงว่า ไม่มีค่า x ที่ทำให้ P (x) \land Q (x) เป็นจริง ดังนั้น \exists x [P (x) \land Q (x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ข้อ (ก) ผิด$

$(ข) จากโจทย์ \forall x [Q (x) \to R (x)] ถ้า x = - 1 ทำให้ Q (x) เป็นจริง แต่ทำให้ R (x) เป็นเท็จ แสดงว่ามี x = - 1 ที่ทำให้ P (x) \to Q (x) เป็นเท็จ (T \to F \equiv F) ดังนั้น \forall x [Q (x) \to R (x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ข้อ (ข) ผิด (ค) จากโจทย์ \forall x [P (x) \to R (x)] กรณีที่ 1 ถ้า x = - \frac{1}{2} ทำให้ P (x) เป็นจริง และ ทำให้ R (x) เป็นจริงด้วย$
$แสดงว่า P (x) \to R (x) เป็นจริงเมื่อ x = - \frac{1}{2} กรณีที่ 2 ถ้า x \neq - \frac{1}{2} ทำให้ P (x) เป็นเท็จ แสดงว่า P (x) \to R (x) เป็นจริงเมื่อ x \neq - \frac{1}{2} (เพราะ F \to □ \equiv T; เท็จแล้วอะไรก็ได้จริง) ดังนั้น \forall x [P (x) \to R (x)] มีค่าความจริงเป็นจริง ข้อ (ค) ถูก$