ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 40

ถ้า $A x^{2} + B y^{2} + D x + E y = 21$ เป็นสมการของไฮเพอร์โบลารูปหนึ่งมีแกนตามขวางขนานแกน $x$ มีเส้นตรง $2 x - y + 1 = 0$ เป็นเส้นกำกับ (asymtote) เส้นหนึ่ง และมีจุด $(1 + 2 \sqrt{5}, 3)$ เป็นโฟกัสจุดหนึ่งแล้วค่าของ $A^{2} + B^{2} + D^{2} + E^{2}$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ (1 + 2 \sqrt{5}, 3) เป็นจุดโฟกัสจุดหนึ่ง (แกนตามขวางขนานแกน x) จะได้ จุดศูนย์กลาง (h, k) = (h, 3)$

$จากโจทย์ 2 x - y + 1 = 0 เป็นเส้นกำกับ (asymptote) เส้นหนึ่ง โดย เส้นกำกับต้องผ่านจุดศูนย์กลาง (h, k) = (h, 3) จะได้ 2 x - y + 1 = 0; แทน x = h, y = 3 2 h - 3 + 1 = 0 h = 1 ดังนั้น จุดสูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา (h, k) = (1, 3) วาดรูปกราฟไฮเพอร์โบลา$

$จากรูป c = (1 + 2 \sqrt{5}) - 1 c = 2 \sqrt{5} \to 1 จากโจทย์ 2 x - y + 1 = 0; Ax + By + C = 0 \to m = \frac{- A}{B} จะได้ กราฟไฮเพอร์โบลามีความชันของเส้นตรง = \frac{- A}{B} \frac{b}{a} = \frac{- A}{B} \frac{b}{a} = \frac{- 2}{- 1} b = 2 a ยกกำลัง 2 ทั้ง 2 ข้างของสมการ; b^{2} = 4 a^{2} \to 2$

$จากสูตร ความสัมพันธ์ของ a, b, c c^{2} = a^{2} + b^{2}; จาก 1, 2 จะได้ {(2 \sqrt{5})}^{2} = a^{2} + {(2 a)}^{2} 20 = 5 a^{2} a^{2} = 4; แทนใน 2 จะได้ b^{2} = 4 (4) b^{2} = 16$

$สูตรไฮเพอร์โบลา (แกนตามขวางขนานกับแกน x) \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1; แทน h, k, a^{2}, b^{2} จะได้ \frac{{(x - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{16} = 1; 16 คูณทั้ง 2 ข้างของสมการ 4 {(x - 1)}^{2} - {(y - 3)}^{2} = 16 4 (x^{2} - 2 x + 1) - (y^{2} - 6 y + 9) = 16 4 x^{2} - 8 x + 4 - y^{2} + 6 y - 9 = 16 4 x^{2} - y^{2} - 8 x + 6 y = 21$

$จากโจทย์ {Ax}^{2} + {By}^{2} + Dx + Ey = 21 เป็นสมการของไฮเพอร์โบลา จะได้ A = 4, B = - 1, D = - 8, E = 6 ดังนั้น A^{2} + B^{2} + C^{2} + D^{2} = 4^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 8)}^{2} + 6^{2} = 16 + 1 + 64 + 36 = 117$