ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 44

กำหนดให้ข้อมูลกลุ่มตัวอย่าง 5 จำนวน คือ $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ โดยที่ $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 214$ และ $\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - x)}^{2} = 34$ เมื่อ $x$ คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่างนี้ และ $x > 0$ ถ้าข้อมูลกลุ่มตัวอย่างใหม่ 5 จำนวน คือ $x_{1} + 2 x_{2}$ , $x_{2} + 2 x_{3}$ , $x_{3} + 2 x_{4}$ , $x_{4} + 2 x_{5}$ , $x_{5} + 2 x_{1}$ มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 16 แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล $x_{1} x_{2}$ , $x_{2} x_{3}$ , $x_{3} x_{4}$ , $x_{4} x_{5}$ , $x_{5} x_{1}$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตรสถิติ (กลุ่มตัวอย่าง) x = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}{n} \to 1 s = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - x)}^{2}}{n - 1}} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n x^{2}}{n - 1}} s^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - x)}^{2}}{n - 1} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n x^{2}}{n - 1} \to 2 จากโจทย์ \sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 214 และ \sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - x)}^{2} = 34$

$จาก 2 จะได้ s^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - x)}^{2}}{n - 1} = \frac{\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} - n x^{2}}{n - 1} \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - x)}^{2}}{n - 1} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n x^{2}}{n - 1}; n = 5 \frac{34}{5 - 1} = \frac{214 - 5 (x^{2})}{5 - 1} \frac{34}{4} = \frac{214 - 5 (x^{2})}{4}$

$34 = 214 - 5 (x^{2}) (x^{2}) = 36 x = 6, - 6; จากโจทย์ x > 0 ดังนั้น x = 6 จากโจทย์ ข้อมูลกลุ่มตัวอย่างใหม่ 5 จำนวนคือ x_{1} + 2 x_{2}, x_{2} + 2 x_{3}, x_{3} + 2 x_{4}, x_{4} + 2 x_{5}, x_{5} + 2 x_{1} จาก 1 จะได้ x = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}{n}; n = 5$

$x' = \frac{(x_{1} + 2 x_{2}) + (x_{2} + 2 x_{3}) + (x_{3} + 2 x_{4}) + (x_{4} + 2 x_{5}) + (x_{5} + 2 x_{1})}{5}$
$= \frac{3 (x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5})}{5} = 3 (x) = 3 (6) = 18 ดังนั้น x' = 18$

$จากโจทย์ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 16 (s' = 16) จาก 2 จะได้ s^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n x^{2}}{n - 1} s'^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {(x')}^{2}}{n - 1}$
${(16)}^{2} = \frac{[{(x_{1} + 2 x_{2})}^{2} + {(x_{2} + 2 x_{3})}^{2} + {(x_{3} + 2 x_{4})}^{2} + {(x_{4} + 2 x_{5})}^{2} + {(x_{5} + 2 x_{1})}^{2}] - 5 {(x')}^{2}}{5 - 1} 256 = \frac{(x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 4 x_{2}^{2}) + (x_{2}^{2} + 4 x_{2} x_{3} + 4 x_{3}^{2}) + (x_{3}^{2} + 4 x_{3} x_{4} + 4 x_{4}^{2}) + (x_{4}^{2} + 4 x_{4} x_{5} + 4 x_{5}^{2}) + (x_{5}^{2} + 4 x_{5} x_{1} + 4 x_{1}^{2}) - 5 {(18)}^{2}}{4}$

$256 = \frac{5 (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} + x_{5}^{2}) + 4 (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{4} + x_{4} x_{5} + x_{5} x_{1}) - 1620}{4} 256 \times 4 = 5 (214) + 4 (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{4} + x_{4} x_{5} + x_{5} x_{1}) - 1620 1574 = 4 (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{4} + x_{4} x_{5} + x_{5} x_{1}) ดังนั้น x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{4} + x_{4} x_{5} + x_{5} x_{1} = 393.5$

$หาค่าของ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{4} + x_{4} x_{5} + x_{5} x_{1} จาก 1 จะได้ x = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}{n} = \frac{x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{4} + x_{4} x_{5} + x_{5} x_{1}}{5} = \frac{393.5}{5} = 78.7 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{4} + x_{4} x_{5} + x_{5} x_{1} = 78.7$

ข้อถัดไป