ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 43

ให้ $A$ เป็นเซตของคู่อันดับ $(x, y)$ โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ $\sqrt{2 - x} + \sqrt{y} = 2$ และ $3 \log_{4} 16 x^{2} = 6 + 6 \log_{2} \sqrt{y}$ ให้ $B = \{x^{2} + y^{2} (x, y) \in A\}$ ค่ามากที่สุดของสมาชิกในเซต $B$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตร l o g logm + logn = logmn \log_{n^{b}} m^{a} = (\frac{a}{b}) \log_{n} m จากโจทย์ 3 \log_{4} 16 x^{2} = 6 + 6 \log_{2} \sqrt{y} จะได้ 3 (\log_{4} 16 + \log_{4} x^{2}) = 6 + 6 \log_{2} \sqrt{y} 3 (\log_{2^{2}} 2^{4} + \log_{2^{2}} x^{2}) = 6 + 6 \log_{2} y^{\frac{1}{2}} 3 (\frac{4}{2} \log_{2} 2 + \frac{2}{2} \log_{2} x) = 6 + \frac{6}{2} \log_{2} y$

$3 (2 + \log_{2} x) = 6 + 3 \log_{2} y 6 + 3 \log_{2} x = 6 + 3 \log_{2} y 3 \log_{2} x = 3 \log_{2} y \log_{2} x = \log_{2} y x = y \to 1 จากโจทย์ \sqrt{2 - x} + \sqrt{y} = 2; แทน y = x จะได้ \sqrt{2 - x} + \sqrt{x} = 2$
$\sqrt{2 - x} = 2 - \sqrt{x}; ยกกำลังสองทั้ง 2 ข้าง {(\sqrt{2 - x})}^{2} = {(2 - \sqrt{x})}^{2} 2 - x = 4 - 4 \sqrt{x} + x 4 \sqrt{x} = 2 x + 2; 2 หารทั้ง 2 ข้างของสมการ 2 \sqrt{x} = x + 1; ยกกำลังสองทั้ง 2 ข้าง 4 x = x^{2} + 2 x + 1 x^{2} - 2 x + 1 = 0 {(x - 1)}^{2} = 0$
$x - 1 = 0 x = 1 จาก 1 x = y ดังนั้น y = 1 จากโจทย์ A เป็นเซตของคู่อันดับ (x, y) จะได้ A = \{(1, 1)\}$

$จากโจทย์ B = \{x^{2} + y^{2}\} B = \{1^{2} + 1^{2}\} B = \{2\} ดังนั้น ค่ามากที่สุดของสมาชิกในเซต B = 2$