ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 5

ถ้า $2 \cot \frac{θ}{2} = (1 + \cot θ)^{2}$ และ $0 < θ < \frac{π}{2}$ แล้วค่าของ $\frac{(1 + \sin θ) \sec^{2} θ}{\cos 2 θ}$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$0.125$
2
$0.25$
3
$1$
4
$2$
5
$4$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร \tan θ = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos 2 θ}{1 + \cos 2 θ}} = \frac{\sin 2 θ}{1 + \cos 2 θ} แสดงว่า \tan θ = \frac{\sin 2 θ}{1 + \cos 2 θ}; เปลี่ยน θ = \frac{θ}{2} จะได้ \tan \frac{θ}{2} = \frac{\sin θ}{1 + \cos θ} ดังนั้น \cot \frac{θ}{2} = \frac{1 + \cos θ}{\sin θ} \to 1$

$จากโจทย์ 2 \cot \frac{θ}{2} = (1 + \cot θ)^{2} จาก 1 จะได้ 2 (\frac{1 + \cos θ}{\sin θ}) = {(1 + \frac{\cos θ}{\sin θ})}^{2} \frac{2 + 2 \cos θ}{\sin θ} = {(\frac{\sin θ + \cos θ}{\sin θ})}^{2} \frac{2 + 2 \cos θ}{\sin θ} = \frac{\sin^{2} θ + 2 \sin θcos θ + \cos^{2} θ}{\sin^{2} θ} \frac{2 + 2 \cos θ}{\sin θ} = \frac{(\sin^{2} θ + \cos^{2} θ) + 2 \sin θcos θ}{\sin^{2} θ} โดย \sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1;$

$2 + 2 \cos θ = \frac{1 + 2 \sin θcos θ}{\sin θ} 2 \sin θ + 2 \sin θcos θ = 1 + 2 \sin θcos θ 2 \sin θ = 1 \sin θ = \frac{1}{2}; จากโจทย์ 0 < θ < \frac{π}{2} ดังนั้น θ = \frac{π}{6}$

$หาค่าของ \frac{(1 + \sin θ) \sec^{2} θ}{\cos 2 θ}; แทน θ = \frac{π}{6} = \frac{(1 + \sin \frac{π}{6}) \sec^{2} \frac{π}{6}}{\cos 2 (\frac{π}{6})} = \frac{(1 + \sin 30 °) \sec^{2} 30 °}{\cos 60 °}$

$= \frac{(1 + \frac{1}{2}) {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{2}}{\frac{1}{2}} = (\frac{3}{2}) (\frac{4}{3}) (\frac{2}{1}) = 4$