ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

ข้อ 1

กำหนดให้ p,q และ r แทนประพจน์ใดๆ ให้ S(p,q,r) แทนประพจน์ที่ประกอบด้วยประพจน์ p,q และ r และค่าความจริงของประพจน์ S(p,q,r) แสดงดังตารางต่อไปนี้

p	q	r	ค่าความจริงของ S(p,q,r)
T	T	T	T
T	T	F	T
T	F	T	F
T	F	F	F
F	T	T	T
F	T	F	T
F	F	T	T
F	F	F	T

ประพจน์ S(p,q,r) สมมูลกับประพจน์ใดต่อไปนี้

1
$(q \to p)$ $\lor (q \land r)$
2
$(q \to p) \to (p \to ~ r)$
3
$(p \land ~ q) \to (q \land r)$
4
$(p \land ~ q) \to (p \to ~ r)$

เฉลยข้อสอบ

$สูตรสำคัญ A \to B \equiv ~ A \lor B T \land T \equiv T ~ (A \lor B) \equiv ~ A \land ~ B F \lor F \equiv F ~ (A \land B) \equiv ~ A \lor ~ B T \to F \equiv F (A \lor B) \lor C \equiv A \lor (B \lor C)$

$จัดรูปตัวเลือก แล้วพิจารณาโดยการแทนค่าจากตาราง 1 . (q \to p) \lor (q \land r) \equiv (~ q \lor p) \lor (q \land r) \equiv (p \lor ~ q) \lor (q \land r) \equiv p \lor [~ q \lor (q \land r)] กระจาย ~ q \lor เข้าวงเล็บ \equiv p \lor [(~ q \lor q) \land (~ q \lor r)] \equiv p \lor [T \land (~ q \lor r)] โดย T \land □ \equiv □ \equiv p \lor (~ q \lor r) ลองแทน กรณีย่อยที่ 3 ลงในตัวเลือกที่ 1 ซึ่งไม่ตรงกับตาราง$

$2 . (q \to p) \to (p \to ~ r) \equiv ~ (q \to p) \lor (p \to ~ r) \equiv ~ (~ q \lor p) \lor (~ p \lor ~ r) กระจาย ~ เข้าวงเล็บ \equiv (q \land ~ p) \lor ~ p \lor ~ r เปลี่ยน ~ p เป็น (T \land ~ p) \equiv (q \land ~ p) \lor (T \land ~ p) \lor ~ r \equiv [(q \lor T) \land ~ p] \lor ~ r โดย T \lor □ \equiv T \equiv [T \land ~ p] \lor ~ r โดย T \land □ \equiv □ \equiv ~ p \lor ~ r$

$ลองแทน กรณีย่อยที่ 1 ลงในตัวเลือกที่ 2 ซึ่งไม่ตรงกับตาราง หรือจะใช ้สูตรลัด (A \land B) \lor B \equiv B จะได้ (q \land p) \lor p \equiv p (q \land ~ p) \lor ~ p \equiv ~ p$

$3 . (p \land ~ q) \to (q \land r) \equiv ~ (p \land ~ q) \lor (q \land r) \equiv (~ p \lor q) \lor (q \land r) \equiv ~ p \lor [q \lor (q \land r)] ยุบ q \lor (q \land r) โดยใช้สูตรลัด จากสูตรลัดข้อ 2 . (A \land B) \lor B \equiv B หรือ B \lor (A \land B) \equiv B จะได้ (p \land ~ q) \to (q \land r) \equiv ~ p \lor q ลองแทนทุกกรณีย่อย ลงในตัวเลือกที่ 3 จะตรงกับตารางทั้งหมด ดังนั้น ตอบตัวเลือกที่ 3$

$4 . (p \land ~ q) \to (p \land ~ r) \equiv ~ (p \land ~ q) \lor (p \to ~ r) \equiv ~ (p \land ~ q) \lor (~ p \lor ~ r) กระจาย ~ เข้าวงเล็บ \equiv (~ p \lor q) \lor (~ p \lor ~ r) \equiv ~ p \lor q \lor ~ p \lor ~ r ยุบ (~ p \lor ~ p) \equiv ~ p \equiv ~ p \lor q \lor ~ r ลองแทน กรณีย่อย 4 ลงในตัวเลือกที่ 4 ซึ่งไม่ตรงกับตาราง$