ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

ข้อ 2

ให้ $ℝ$ แทนเซตของจำนวนจริง กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือ ${x \in ℝ 0 < x < 1}$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) ประพจน์ $\exists x \forall y [x^{2} - y^{2} < y - x]$ มีค่าความจริงเป็นจริง

(ข) ประพจน์ $\forall x \forall y [|x - y| < 1 - x y]$ มีค่าความจริงเป็นจริง

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) และ

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ เอกภพสัมพัทธ์ ของ x คือ (0, 1) เอกภพสัมพันธ์ ของ y คือ (0, 1) เช่นกัน (ก) จากโจทย์ \exists x \forall y เป็นจริงเมื่อ มี x บางตัว คู่กับ y ได้ทุกตัว จาก x^{2} - y^{2} < y - x ถ้า y = x จะได้ 0 < 0 ซึ่งเป็นเท็จ ดังนั้น x บางตัว จะคู่กับ y ไม่ได้ทุกตัว ข้อ (ก) ผิด$

$(ข) จากโจทย์ \forall x \forall y เป็นจริงเมื่อ มี x ทุกตัว คู่กับ y ได้ทุกตัว จาก |x - y| < 1 - xy ยกกำลัง 2 ทั้ง 2 ข้าง {(|x - y|)}^{2} < {(1 - xy)}^{2} นิยาม {|a|}^{2} = a^{2}; {(x - y)}^{2} < {(1 - xy)}^{2} {(x - y)}^{2} - {(1 - xy)}^{2} < 0$

$สูตร a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b); (x - y - 1 + xy) (x - y + 1 - xy) < 0 (x - 1 + xy - y) (x + 1 - xy - y) < 0 [x - 1 + y (x - 1)] [x + 1 - y (x + 1)] < 0 [1 (x - 1) + y (x - 1)] [1 (x + 1) - y (x + 1)] < 0 [(1 + y) (x - 1)] [(1 - y) (x + 1)] < 0 โดย x, y \in (0, 1); (+) (-) (+) (+) < 0 (-) < 0 ข้อ (ข) ถูก$