ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

          
$$\begin{gathered} \mathbf{สูตรกฎของ}\mathbf{ }\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{e} \frac{\sin \mathrm{A}}{\mathrm{a}}=\frac{\sin \mathrm{B}}{\mathrm{b}}=\frac{\sin \mathrm{C}}{\mathrm{c}} \\ \mathbf{หรือ} \frac{\mathrm{a}}{\sin \mathrm{A}}=\frac{\mathrm{b}}{\sin \mathrm{B}}=\frac{\mathrm{c}}{\sin \mathrm{C}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{ก}\right) \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \mathrm{A}=3\mathrm{B} \mathrm{และ} \mathrm{a}=2\mathrm{b} \\ \mathrm{จากสูตร} \frac{\mathrm{a}}{\sin \mathrm{A}}=\frac{\mathrm{b}}{\sin \mathrm{B}} \\ -\mathrm{แทน} \mathrm{A}=3\mathrm{B} , \mathrm{a}=2\mathrm{b} \\ \mathrm{จะได้} \frac{2\cancel{\mathrm{b}}}{\sin 3\mathrm{B}}=\frac{\cancel{\mathrm{b}}}{\sin \mathrm{B}} \\ \mathrm{สูตรมุม} 3 \mathrm{เท่า} ; \sin 3\mathrm{B}=3\sin \mathrm{B}-4{\sin }^3\mathrm{B} \\ \frac{2\mathrm{b}}{3\sin \mathrm{B}-4{\sin }^3\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{b}}{\sin \mathrm{B}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{ตัด} \mathrm{b} \mathrm{ออก} ; \frac{2}{\cancel{\sin \mathrm{B}}\left(3-4{\sin }^2\mathrm{B}\right)}=\frac{1}{\cancel{\sin \mathrm{B}}} \\ \mathrm{ตัด} \sin \mathrm{B} \mathrm{ออก} ; \frac{2}{\left(3-4{\sin }^2\mathrm{B}\right)}=\frac{1}{1} \\ 2=3-4{\sin }^2\mathrm{B} \\ 4{\sin }^2\mathrm{B}=1 \\ {\sin }^2\mathrm{B}=\frac{1}{4} \\ \sin \mathrm{B}=\pm \frac{1}{2} \\ \mathrm{โดย} \mathrm{มุมภายในสามเหลี่ยมมีค่า} 0-180° \\ \mathrm{จะได้ว่า} \mathrm{sine} \mathrm{เป็น} + \mathrm{เสมอ} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} \sin \mathrm{B}=\frac{1}{2} \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{B}=30°,150° \\ -\mathrm{B}=150° \mathrm{ไม่ได้} \mathrm{เนื่องจากทำให้} \mathrm{A}=3\left(150\right)=450° \\ \left(\mathrm{เกินมุมภายในสามเหลี่ยม} \mathrm{ABC}\right) \\ -\mathrm{B}=30° ; \mathrm{จาก} \mathrm{A}=3\mathrm{B} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{A}=3\left(30\right)=90° \mathrm{ข้อ} \left(\mathrm{ก}\right) \mathrm{ถูก} \\ \left(\mathrm{ข}\right) \mathrm{วาดรูปสามเหลี่ยม} \mathrm{ABC} \end{gathered}$$
         
$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \mathrm{a}=\mathrm{kc} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{k}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}} \\ =\sec 30° \\ =\frac{2}{\sqrt{3}} \\ \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3{\mathrm{x}}^3-9{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+3=0 \\ \mathrm{แทนค่า} \mathrm{x}=\mathrm{k} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} 3(\frac{2}{\sqrt{3}}{)}^3-9(\frac{2}{\sqrt{3}}{)}^2-\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)+3=0 \\ \frac{8}{\sqrt{3}}-12-\frac{2}{\sqrt{3}}+3=0 \\ \frac{6}{\sqrt{3}}-9\ne 0 \\ \mathrm{ข้อ} \left(\mathrm{ข}\right) \mathrm{ผิด} \end{gathered}$$