ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

$จากโจทย์ g' (x) = f (x) - แทน f (x) = 4 x^{3} + {bx}^{2} + cx + d จะได้ g' (x) = 4 x^{3} + {bx}^{2} + cx + d$

$หา g' (0) แทน x = 0 จะได้ g' (0) = 4 {(0)}^{3} + b {(0)}^{2} + c (0) + d แทน g' (0) = 0; 0 = d d = 0 - แทนใน f (x) = 4 x^{3} + {bx}^{2} + cx + d จะได้ f (x) = 4 x^{3} + {bx}^{2} + cx \to 1$

$หา g' (1) แทน x = 1 ใน g' (x) จะได้ g' (1) = 4 {(1)}^{3} + b {(1)}^{2} + c (1) + d แทน g' (1) = 0; 0 = 4 + b + c + d แทน d = 0; 0 = 4 + b + c + 0 4 + b + c = 0 \to 2$

$จาก 1 f (x) = 4 x^{3} + {bx}^{2} + cx; \int dx ทั้ง 2 ข้าง \int f (x) dx = \int (4 x^{3} + {bx}^{2} + cx) dx \int_{- 2}^{2} f (x) d x = \int_{- 2}^{2} (4 x^{3} + {bx}^{2} + cx) d x = {\frac{4 x^{4}}{4} + \frac{{bx}^{3}}{3} + \frac{{cx}^{2}}{2}}_{- 2}^{2} = {x^{4} + \frac{{bx}^{3}}{3} + \frac{{cx}^{2}}{2}}_{- 2}^{2} = [{(2)}^{4} + \frac{b {(2)}^{3}}{3} + \frac{c {(2)}^{2}}{2}] - [{(- 2)}^{4} + \frac{b {(- 2)}^{3}}{3} + \frac{c {(- 2)}^{2}}{2}]$
$= [16 + \frac{8 b}{3} + \frac{4 c}{2}] - [16 + \frac{(- 8 b)}{3} + \frac{4 c}{2}] = \frac{16 b}{3} แทน \int_{- 2}^{2} f (x) d x = - \frac{64}{3} - \frac{64}{3} = \frac{16 b}{3} b = - 4 จาก 2 4 + b + c = 0; แทน b = - 4 จะได้ 4 + (- 4) + c = 0 c = 0$

$จาก 1 f (x) = 4 x^{3} + {bx}^{2} + cx แทน b = - 4, c = 0 f (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} จากโจทย์ g' (x) = f (x) จะได้ g' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} \to 3; ดิฟทั้ง 2 ข้าง g'' (x) = \frac{d}{dx} (4 x^{3} - 4 x^{2}) g'' (x) = 12 x^{2} - 8 x$

$จาก 3 g' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2}; \int dx ทั้ง 2 ข้าง \int g' (x) dx = \int (4 x^{3} - 4 x^{2}) dx g (x) = \frac{4 x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + e แทน g (0) = 0; 0 = \frac{4 {(0)}^{4}}{4} - \frac{4 {(0)}^{3}}{3} + e e = 0 แทนค่า e ใน g (x); g (x) = \frac{4 x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} g (x) = x^{4} - \frac{4 x^{3}}{3}$

$จากโจทย์ g'' (x) = g' (x) + g (x) - แทนค่า g'' (x), g' (x), g (x) จะได้ 12 x^{2} - 8 x = (4 x^{3} - 4 x^{2}) + (x^{4} - \frac{4 x^{3}}{3}) 0 = x^{4} + \frac{8 x^{3}}{3} - 16 x^{2} + 8 x ดังนั้น 0 = 3 x^{4} + 8 x^{3} - 48 x^{2} + 24 x$