ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

ข้อ 20

กำหนดให้ ${a_{n}}$ เป็นลำดับของจำนวนจริง โดยที่ $a_{1} = \frac{1}{6}$ และ $a_{n} = a_{n - 1} - \frac{1}{3^{n}}$ สำหรับ $n = 2, 3, 4, . . .$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$

(ข) อนุกรม $a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . .$ เป็นอนุกรมลู่เข้า มีผลบวกเท่ากับ 0.75

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a_{n} = a_{n - 1} - \frac{1}{3^{n}}; a_{1} = \frac{1}{6} แทน n = 2 a_{2} = a_{1} - \frac{1}{3^{2}}; แทน a_{1} = \frac{1}{6} = \frac{1}{6} - \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} (\frac{1}{6}) = \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}$

$แทน n = 3 a_{3} = a_{2} - \frac{1}{3^{3}}; แทน a_{2} = \frac{1}{2 \cdot 3^{2}} = \frac{1}{2 \cdot 3^{2}} - \frac{1}{3^{3}} = \frac{1}{3^{2}} (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{2}} (\frac{1}{6}) = \frac{1}{2 \cdot 3^{3}}$

$แทน n = 4 a_{4} = a_{3} - \frac{1}{3^{4}}; แทน a_{3} = \frac{1}{2 \cdot 3^{3}} = \frac{1}{2 \cdot 3^{3}} - \frac{1}{3^{4}} = \frac{1}{3^{3}} (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} (\frac{1}{6}) = \frac{1}{2 \cdot 3^{4}} \cdot \cdot \cdot จะได้ a_{n} = \frac{1}{2 \cdot 3^{n}}$

$(ก) \lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 \cdot 3^{n}}; แทน n = \infty จะได้ = 0 ข้อ (ก) ถูก (ข) a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . = \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 3^{3}} + . . . - เป็นผลบวกอนุกรมอนันต์ของเรขาคณิต (r = \frac{1}{3}) สูตร S_{n} = \frac{a_{1}}{1 - r} เมื่อ |r| < 1 แทนค่า a_{1} = \frac{1}{2 \cdot 3}, r = \frac{1}{3}$
$จะได้ S_{n} = \frac{\frac{1}{2 \cdot 3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{4} = 0.25 ดังนั้น a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . = 0.25 ข้อ (ข) ผิด$