ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

$จากโจทย์ b_{n} = (a + n - 1) (a + n) - ลองแทนค่า n = 1, 2, 3 แทน n = 1 b_{1} = (a) (a + 1) แทน n = 2 b_{2} = (a + 1) (a + 2) แทน n = 3 b_{3} = (a + 2) (a + 3)$

$จากโจทย์ \lim_{n \to \infty} (\frac{a + 1}{b_{1} b_{2}} + \frac{a + 2}{b_{2} b_{3}} + . . . + \frac{a + n}{b_{n} b_{n + 1}}) = \frac{1}{312} หาค่าของ \frac{a + 1}{b_{1} b_{2}} + \frac{a + 2}{b_{2} b_{3}} + . . . + \frac{a + n}{b_{n} b_{n + 1}}$
$= \frac{a + 1}{a {(a + 1)}^{2} (a + 2)} + \frac{a + 2}{(a + 1) {(a + 2)}^{2} (a + 3)} + . . . + \frac{a + n}{(a + n - 1) {(a + n)}^{2} (a + n + 1)} = \frac{1}{a (a + 1) (a + 2)} + \frac{1}{(a + 1) (a + 2) (a + 3)} + . . . + \frac{1}{(a + n - 1) (a + n) (a + n + 1)} = \frac{1}{2} [\frac{1}{a (a + 1)} - \frac{1}{(a + 1) (a + 2)}] + \frac{1}{2} [\frac{1}{(a + 1) (a + 2)} - \frac{1}{(a + 2) (a + 3)}] + . . . + \frac{1}{2} [\frac{1}{(a + n - 1) (a + n)} - \frac{1}{(a + n) (a + n + 1)}]$

$= \frac{1}{2} [\frac{1}{a (a + 1)} - \frac{1}{(a + 1) (a + 2)} + \frac{1}{(a + 1) (a + 2)} - \frac{1}{(a + 2) (a + 3)} + . . . + \frac{1}{(a + n - 1) (a + n)} - \frac{1}{(a + n) (a + n + 1)}] = \frac{1}{2} [\frac{1}{a (a + 1)} - \frac{1}{(a + n) (a + n + 1)}] พจน์ตรงกลางหักล้างกัน เหลือพจน์ซ้าย กับขวา$

$จากโจทย์ \lim_{n \to \infty} (\frac{a + 1}{b_{1} b_{2}} + \frac{a + 2}{b_{2} b_{3}} + . . . + \frac{a + n}{b_{n} b_{n + 1}}) = \frac{1}{312} \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} [\frac{1}{a (a + 1)} - \frac{1}{(a + n) (a + n + 1)}]) = \frac{1}{312} แทนค่า n = \infty จะได้ \frac{1}{2} (\frac{1}{a (a + 1)}) = \frac{1}{312} a (a + 1) = 156 a^{2} + a - 156 = 0 (a + 13) (a - 12) = 0$
$a = - 13, 12 จากโจทย์ a เป็นจำนวนจริงบวก; a = 12 หาค่าของ a^{2} + 57 = {(12)}^{2} + 57 = 144 + 57 = 201$