ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

ข้อ 36

ถ้า $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ $[\begin{matrix} |x| & 1 \\ 2 & x - |y| \end{matrix}] + 2 [\begin{matrix} y & 3 \\ - 1 & |y| \end{matrix}] = {[\begin{matrix} 10 + x & 0 \\ 7 & 7 - y \end{matrix}]}^{t}$

แล้วค่าของ $x + y$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ [\begin{matrix} |x| & 1 \\ 2 & x - |y| \end{matrix}] + 2 [\begin{matrix} y & 3 \\ - 1 & |y| \end{matrix}] = {[\begin{matrix} 10 + x & 0 \\ 7 & 7 - y \end{matrix}]}^{t} [\begin{matrix} |x| & 1 \\ 2 & x - |y| \end{matrix}] + [\begin{matrix} 2 y & 6 \\ - 2 & 2 |y| \end{matrix}] = [\begin{matrix} 10 + x & 7 \\ 0 & 7 - y \end{matrix}] [\begin{matrix} |x| + 2 y & 1 + 6 \\ 2 + (- 2) & x - |y| + 2 |y| \end{matrix}] = [\begin{matrix} 10 + x & 7 \\ 0 & 7 - y \end{matrix}] [\begin{matrix} |x| + 2 y & 7 \\ 0 & x + |y| \end{matrix}] = [\begin{matrix} 10 + x & 7 \\ 0 & 7 - y \end{matrix}]$

$จะได้ |x| + 2 y = 10 + x \to 1 x + |y| = 7 - y \to 2 ถ้า x \geq 0 จะได้ |x| = x จาก 1 จะได้ x + 2 y = 10 + x 2 y = 10 y = 5; แทนใน 2 จะได้ x + |5| = 7 - 5 x + 5 = 2 x = - 3$
$ข้ดแย้งกับเงื่อนไข x \geq 0 แสดงว่า x = - 3 ไม่เป็นจริง แสดงว่า x \leq 0 แน่นอน โดย x \leq 0 จะได้ |x| = - x จาก 1 จะได้ - x + 2 y = 10 + x - 2 x + 2 y = 10 x - y = - 5 \to 3$

$พิจารณา y ถ้า y < 0 จะได้ |y| = - y จาก 2 จะได้ x + (- y) = 7 - y x - y = 7 - y x = 7 ขัดแย้งกับเงื่อนไข x \leq 0 แสดงว่า y < 0 ไม่เป็นจริง$

$แสดงว่า y \geq 0 แน่นอน โดย y \geq 0 จะได้ |y| = y จาก 2 จะได้ x + y = 7 - y x + 2 y = 7 \to 4 - จาก 3, 4 แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร จะได้ x = - 1, y = 4 ดังนั้น x + y = (- 1) + 4 = 3$