ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

ข้อ 39

ให้ S แทนเซตคำตอบของสมการ $3 \sqrt{2 + x} - 6 \sqrt{2 - x} + 4 \sqrt{4 - x^{2}} = 10 - 3 x$ ถ้าผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต $S$ เท่ากับ $\frac{a}{b}$ เมื่อ ห.ร.ม. ของ $a$ และ $b$ เท่ากับ $1$ แล้ว $a + b$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ 3 \sqrt{2 + x} - 6 \sqrt{2 - x} + 4 \sqrt{4 - x^{2}} = 10 - 3 x \to a กำหนดให้ A = \sqrt{2 + x} จะได้ A^{2} = 2 + x B = \sqrt{2 - x} จะได้ B^{2} = 2 - x AB = \sqrt{2 + x} \cdot \sqrt{2 - x} = \sqrt{(2 + x) (2 - x)} = \sqrt{4 - x^{2}}$

$ลองจัด 10 - 3 x ให้อยู่ในรูป (2 + x) และ (2 - x) m, n เป็น ส . ป . ส . ของ (2 + x), (2 - x) ตามลำดับ จะได้ m (2 + x) + n (2 - x) = 10 - 3 x \to b 2 m + mx + 2 n - nx = 10 - 3 x (2 m + 2 n) + (m - n) x = 10 - 3 x$

$- ดีกรีของ x เท่ากัน จับ ส . ป . ส . มาเท่ากัน จะได้ 2 m + 2 n = 10 \to 1 m - n = - 3 \to 2 - จาก 1, 2 แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร จะได้ m = 1, n = 4; แทนใน b ดังนั้น 10 - 3 x = 1 (2 + x) + 4 (2 - x); แทน A^{2}, B^{2} 10 - 3 x = A^{2} + 4 B^{2}$

$จาก a 3 \sqrt{2 + x} - 6 \sqrt{2 - x} + 4 \sqrt{4 - x^{2}} = 10 - 3 x - แทนค่า A, B, AB, A^{2}, B^{2} จะได้ 3 A - 6 B + 4 AB = A^{2} + 4 B^{2} A^{2} + 4 B^{2} - 3 A + 6 B - 4 AB = 0 (A^{2} - 4 AB + 4 B^{2}) - 3 A + 6 B = 0 (A - 2 B) (A - 2 B) - 3 (A - 2 B) = 0 (A - 2 B - 3) (A - 2 B) = 0 A - 2 B = 0 หรือ A - 2 B - 3 = 0$

$A = 2 B A = 2 B + 3 \sqrt{2 + x} = 2 \sqrt{2 - x} \sqrt{2 + x} = 2 \sqrt{2 - x} + 3; \sqrt{} \geq 0 เสมอ 2 + x = 4 (2 - x) เงื่อนไขค่าสัมบูรณ์ \sqrt{□} \to □ \geq 0 5 x = 6 2 + x \geq 0 และ 2 - x \geq 0 x = \frac{6}{5} x \geq - 2 x \leq 2$

$ตรวจคำตอบ \sqrt{2 + x} = 2 \sqrt{2 - x} - 2 \leq x \leq 2 \to c \sqrt{2 + \frac{6}{5}} = 2 \sqrt{2 - \frac{6}{5}} จาก A = 2 B + 3 \sqrt{\frac{16}{5}} = 2 \sqrt{\frac{4}{5}} จะเห็นว่า 2 B + 3 มีค่าอย่างน้อย 3 \sqrt{\frac{16}{5}} = \sqrt{\frac{16}{5}} (2 B + 3 \geq 3) คำตอบเป็นจริง เพราะ B = \sqrt{2 - x} \geq 0$
$แต่ A \geq 3 เป็นไปไม่ได้ เพราะ ขัดแย้งกับ c เพราะฉะนั้น A - 2 B - 3 = 0 เป็นไปไม่ได้$
$ดังนั้น x = \frac{6}{5} จากโจทย์ ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต S เท่ากับ \frac{a}{b} (ห . ร . ม . ของ a และ b เท่ากับ 1) จะได้ a = 6, b = 5 ดังนั้น a + b = 6 + 5 = 11$

ข้อถัดไป