ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

ข้อ 40

กำหนดให้ $8 \cos (2 θ) + 8 s e c (2 θ) = 65$ เมื่อ $0 < θ < 90 °$ ค่าของ $160 \sin (\frac{θ}{2}) \sin (\frac{5 θ}{2})$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ 8 \cos (2 θ) + 8 \sec (2 θ) = 65 8 \cos (2 θ) + 8 \frac{1}{\cos (2 θ)} = 65 8 \cos^{2} (2 θ) + 8 = 65 \cos (2 θ) 8 \cos^{2} (2 θ) - 65 \cos (2 θ) + 8 = 0 (8 \cos 2 θ - 1) (\cos 2 θ - 8) = 0$
$8 \cos 2 θ - 1 = 0 หรือ \cos 2 θ - 8 = 0 \cos 2 θ = \frac{1}{8} \cos 2 θ = 8 แต่ - 1 \leq \cos A \leq 1 \cos 2 θ = 8 เป็นไปไม่ได้ ดังนั้น \cos 2 θ = \frac{1}{8}$

$สูตร \cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1; 2 \cos^{2} θ - 1 = \cos 2 θ 2 \cos^{2} θ - 1 = \frac{1}{8} \cos^{2} θ = \frac{9}{16} cosθ = \pm \sqrt{\frac{9}{16}} cosθ = \pm \frac{3}{4} จากโจทย์ 0 < θ < 90 ° อยู่ Q_{1} จะได้ cosθ เป็นบวก ดังนั้น cosθ = \frac{3}{4}$

$หาค่าของ 160 \sin (\frac{θ}{2}) \sin (\frac{5 θ}{2}) = \frac{160}{- 2} [- 2 \sin (\frac{θ}{2}) \sin (\frac{5 θ}{2})]$

$(จากสูตร - 2 \sin A \sin B = \cos (A + B) - \cos (A - B)) จะได้ = - 80 [\cos (\frac{θ}{2} + \frac{5 θ}{2}) - \cos (\frac{θ}{2} - \frac{5 θ}{2})] = - 80 [\cos 3 θ - \cos (- 2 θ)] โดย \cos (- A) = cosA = - 80 [\cos 3 θ - \cos (2 θ)] สูตร \cos 3 θ = 4 \cos^{3} θ - 3 cosθ = - 80 [(4 \cos^{3} θ - 3 cosθ) - \cos (2 θ)]$

$- แทนค่า cosθ, \cos 2 θ จะได้ = - 80 [(4 (\frac{3}{4})^{3} - 3 (\frac{3}{4})) - (\frac{1}{8})] = - 80 [\frac{27 - 36 - 2}{16}] = 55 ดังนั้น 160 \sin (\frac{θ}{2}) \sin (\frac{5 θ}{2}) = 55$