ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

ข้อ 41

ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง โดยที่ $f (2 x - 1) = 4 x^{2} - 10 x + a$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนจริง และ $f (0) = 12$ ค่าของ $\int_{1}^{4} f (x) d x$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f (2 x - 1) = 4 x^{2} - 10 x + a \to 1 กำหนดให้ 2 x - 1 = A x = \frac{A + 1}{2} นำไปแทนใน 1 จะได้ f (A) = 4 {(\frac{A + 1}{2})}^{2} - 10 (\frac{A + 1}{2}) + a = (A^{2} + 2 A + 1) - 5 (A + 1) + a = A^{2} - 3 A - 4 + a; แทน A = x ดังนั้น f (x) = x^{2} - 3 x - 4 + a \to 2$

$จากโจทย์ f (0) = 12; แทน x = 0 ใน f (x) จะได้ {(0)}^{2} - 3 (0) - 4 + a = 12 a = 16; แทนใน 2 จะได้ f (x) = x^{2} - 3 x - 4 + 16 f (x) = x^{2} - 3 x + 12$

$ดังนั้น \int_{1}^{4} f (x) d x = \int_{1}^{4} (x^{2} - 3 x + 12) d x = {\frac{x^{3}}{3} - 3 \frac{x^{2}}{2} + 12 x}_{1}^{4} = (\frac{{(4)}^{3}}{3} - 3 \frac{{(4)}^{2}}{2} + 12 (4)) - (\frac{{(1)}^{3}}{3} - 3 \frac{{(1)}^{2}}{2} + 12 (1)) = 34.5$