ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

ข้อ 44

ให้ $ℝ$ แทนเซตของจำนวนจริง ให้ $f : ℝ \to ℝ, g : ℝ \to ℝ$ และ $s : ℝ \to ℝ$ เป็นฟังก์ชัน โดยที่ $f (x) = x + 1$ สำหรับทุก $x \in ℝ$ $g (f (x)) = x^{2} + 2 x - 1$ สำหรับทุก $x \in ℝ$ และ $s (x) = \lim_{h \to 0} \frac{(g (x + h))^{2} - (g (x))^{2}}{h}$ สำหรับทุก $x \in ℝ$ ค่าของ $(s g) (1)$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f (x) = x + 1 และ g (f (x)) = x^{2} + 2 x - 1 แทน f (x) = x + 1 g (x + 1) = x^{2} + 2 x - 1; แทน x = x - 1 จะได้ g ((x - 1) + 1) = {(x - 1)}^{2} + 2 (x - 1) - 1 g (x) = (x^{2} - 2 x + 1) + 2 x - 2 - 1 g (x) = x^{2} - 2; แทน x = 1 จะได้ g (1) = {(1)}^{2} - 2 g (1) = - 1 \to 1$

$จากโจทย์ s (x) = \lim_{h \to 0} \frac{(g (x + h))^{2} - (g (x))^{2}}{h} โดย a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) = \lim_{h \to 0} \frac{(g (x + h) - g (x)) (g (x + h) + g (x))}{h} กระจาย limit; = \lim_{h \to 0} (\frac{g (x + h) - g (x)}{h}) \cdot \lim_{h \to 0} (g (x + h) + g (x)) = \lim_{h \to 0} \frac{(g (x + h) - g (x))}{h} \cdot (g (x + 0) + g (x)) = \lim_{h \to 0} \frac{(g (x + h) - g (x))}{h} \cdot (2 g (x)) = g' (x) \cdot 2 g (x)$
$g (x) = x^{2} - 2; = \frac{d}{dx} (x^{2} - 2) \cdot 2 (x^{2} - 2) = 2 x \cdot 2 (x^{2} - 2); แทน x = 1 จะได้ s (1) = 2 (1) \cdot 2 [{(1)}^{2} - 2] s (1) = - 4 \to 2 ดังนั้น (sg) (1) = s (1) \cdot g (1); จาก 1, 2 = (- 4) (- 1) = 4$