ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

ข้อ 5

กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงบวกที่มากกว่า 1 และสอดคล้องกับ $\log_{a} 4 + \log_{b} 4 = 9 \log_{a b} 2$ ค่ามากสุดของ $\log_{a} (a b^{5}) + \log_{b} (\frac{a^{2}}{\sqrt{b}})$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
13.5
2
11.5
3
9
4
7

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ \log_{a} 4 + \log_{b} 4 = 9 \log_{ab} 2 \log_{a} 2^{2} + \log_{b} 2^{2} = 9 \log_{ab} 2 2 \log_{a} 2 + 2 \log_{b} 2 = 9 \log_{ab} 2 \frac{2 \log 2}{loga} + \frac{2 \log 2}{logb} = \frac{9 \log 2}{logab} โดย \log ab = loga + logb; \frac{2 \log 2}{loga} + \frac{2 \log 2}{logb} = \frac{9 \log 2}{loga + logb}$

$กำหนดให้ \log a = x, \log b = y แทนค่าในสมการ จะได้ \frac{2 \log 2}{x} + \frac{2 \log 2}{y} = \frac{9 \log 2}{x + y} \log 2 (\frac{2}{x} + \frac{2}{y}) = \frac{9 \log 2}{x + y} ตัด \log 2 \frac{2}{x} + \frac{2}{y} = \frac{9}{x + y} \frac{2 y + 2 x}{xy} = \frac{9}{x + y} \frac{2 (x + y)}{xy} = \frac{9}{x + y}$

$2 {(x + y)}^{2} = 9 xy 2 x^{2} + 4 xy + 2 y^{2} = 9 xy 2 x^{2} - 5 xy + 2 y^{2} = 0 (2 x - y) (x - 2 y) = 0 จะได้ 2 x - y = 0 หรือ x - 2 y = 0 2 x = y x = 2 y$

$แทนค่า x = \log a, y = \log b 2 \log a = \log b \log a = 2 \log b \frac{\log a}{\log b} = \frac{1}{2} \to 1 \frac{\log a}{\log b} = 2 \to 2$

$หาค่ามากสุด \log_{a} ({ab}^{5}) + \log_{b} (\frac{a^{2}}{\sqrt{b}}) = (\log_{a} a + \log_{a} b^{5}) + (\log_{b} a^{2} - \log_{b} \sqrt{b}) = (1 + 5 \log_{a} b) + (2 \log_{b} a - \log_{b} b^{\frac{1}{2}}) = (1 + 5 \frac{\log b}{\log a}) + (2 \frac{\log a}{\log b} - \frac{1}{2} \log_{b} b) = (1 + 5 \frac{\log b}{\log a}) + (2 \frac{\log a}{\log b} - \frac{1}{2}) - จาก 1 แทนค่า \frac{l o g a}{l o g b} = \frac{1}{2}$

$\log_{a} ({ab}^{5}) + \log_{b} (\frac{a^{2}}{\sqrt{b}}) = (1 + 5 \frac{\log b}{\log a}) + (2 \frac{\log a}{\log b} - \frac{1}{2}) = [1 + 5 (2)] + [2 (\frac{1}{2}) - \frac{1}{2}] = 11 + 0.5 = 11.5 - จาก 2 แทนค่า \frac{l o g a}{l o g b} = 2$

$\log_{a} ({ab}^{5}) + \log_{b} (\frac{a^{2}}{\sqrt{b}}) = (1 + 5 \frac{\log b}{\log a}) + (2 \frac{\log a}{\log b} - \frac{1}{2}) = [1 + 5 (\frac{1}{2})] + [2 (2) - \frac{1}{2}] = 3.5 + 3.5 = 7 ดังนั้น ค่ามากสุดของ \log_{a} ({ab}^{5}) + \log_{b} (\frac{a^{2}}{\sqrt{b}}) = 11.5$

ข้อถัดไป