ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2556

ข้อ 45

กำหนดให้ $\bar{a}, \bar{b}$ และ $\bar{c}$ เป็นเวกเตอร์บนระนาบซึ่งกำหนดโดย $\bar{a} = x \bar{i} + \frac{12}{5} \bar{j}, \bar{b} = 6 \bar{i} + y \bar{j}$ และ $\bar{c} = 2 \bar{i} + \bar{j}$

เมื่อ x และ y เป็นจำนวนจริง ถ้า $|\bar{b} - \bar{c}| = 5$ , เวกเตอร์ $\bar{a}$ ตั้งฉากกับเวกเตอร์ $\bar{b}$ และ $\bar{a} \cdot \bar{c} > 0$

แล้วค่าของ ${|5 \bar{a} + \bar{b}|}^{2}$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ |\bar{b} - \bar{c}| = 5 จะได้ |(6 \bar{i} + y \bar{j}) - (2 \bar{i} + \bar{j})| = 5 |4 \bar{i} + (y - 1) \bar{j}| = 5 \sqrt{4^{2} + {(y - 1)}^{2}} = 5$

$16 + {(y - 1)}^{2} = 25 {(y - 1)}^{2} = 9 y - 1 = \pm 3 y = 4, - 2$

$จากโจทย์ เวกเตอร์ \bar{a} ตั้งฉากกับเวกเตอร์ \bar{b} จะได้ \bar{a} \cdot \bar{b} = 0 (x \bar{i} + \frac{12}{5} \bar{j}) (6 \bar{i} + y \bar{j}) = 0 x (6) + \frac{12}{5} (y) = 0$

$y = 4 จะได้ 6 x + (\frac{12}{5}) (4) = 0 x = - \frac{8}{5} y = - 2 จะได้ 6 x + (\frac{12}{5}) (- 2) = 0 x = \frac{4}{5}$

$จากโจทย์ \bar{a} \cdot \bar{c} > 0 (x \bar{i} + \frac{12}{5} \bar{j}) (2 \bar{i} + \bar{j}) > 0 2 x + \frac{12}{5} (1) > 0 x = - \frac{8}{5} จะได้ \bar{a} \cdot \bar{c} = (- \frac{8}{5}) (2) + (\frac{12}{5}) (1) \bar{a} \cdot \bar{c} = \frac{- 4}{5} < 0$

$แสดงว่า ใช้ไม่ได้ x = \frac{4}{5} จะได้ \bar{a} \cdot \bar{c} = (\frac{4}{5}) (2) + (\frac{12}{5}) (1) \bar{a} \cdot \bar{c} = 4 > 0 แสดงว่า ใช้ได้$

$ดังนั้น \bar{a} = \frac{4}{5} \bar{i} + \frac{12}{5} \bar{j} \bar{b} = 6 \bar{i} - 2 \bar{j} ดังนั้น {|5 \bar{a} + \bar{b}|}^{2} = {|5 (\frac{4}{5} \bar{i} + \frac{12}{5} \bar{j}) + (6 \bar{i} - 2 \bar{j})|}^{2} = {|(4 \bar{i} + 12 \bar{j}) + (6 \bar{i} - 2 \bar{j})|}^{2}$

$= {|10 \bar{i} + 10 \bar{j}|}^{2} = {(\sqrt{10^{2} + 10^{2}})}^{2} = {(\sqrt{200})}^{2} = 200$

ข้อถัดไป