ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2556

ข้อ 7

ให้ R แทนเซตของจำนวนจริง พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) ความสัมพันธ์ $\{(x, y) \in R \times R x^{2} + y^{2} = 4, x y > 0\}$ เป็นฟังก์ชัน

(ข) ถ้า $f (x) = \{\begin{cases} x - 2 & , x \leq 0 \\ x^{2} & , x > 0 \end{cases}$ และ $g (3 x - 1) = 2 x^{2} + 3 x$ สำหรับ $x \in R$ แล้วค่าของ $(g \circ f^{- 1}) (25) = 14$

ข้อใดต่อไปนี้ถูก

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$พิจารณาข้อ (ก) \to x^{2} + y^{2} = 4 เป็นกราฟวงกลม ที่มี (h, k) = (0, 0) และ r = 2 \to แต่โจทย์กำหนดว่า xy > 0 ดังนั้นจึงเหลือกราฟใน Q_{1} และ Q_{3}$

$นิยาม ฟังก์ชัน คือความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใดๆ ถ้าสมาชิกหน้าเหมือนกัน แล้วสมาชิกตัวหลังต้องไม่ต่างกัน หมายความว่า " ถ้า x เหมือนกัน y ต้องเหมือนกัน " เช่น A = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4)\} เป็นฟังก์ชัน B = \{(1, 2), (1, 3), (2, 4)\} ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะ เมื่อ x เหมือนกัน y ต้องเหมือนกัน C = \{(1, 2), (1, 2), (3, 4)\} เป็นฟังก์ชัน ดังนั้น กราฟของสมการวงกลมที่อยู่ในช่วง Q_{1} และ Q_{3} ไม่มีค่า x ใดที่ซ้ำกัน จึงเป็นฟังก์ชัน$

$พิจารณาข้อ (ข) หา g (x) g (3 x - 1) = 2 x^{2} + 3 x \to 1 กำหนดให้ 3 x - 1 = k x = \frac{k + 1}{3} จาก 1 จะได้ g (k) = 2 {(\frac{k + 1}{3})}^{2} + 3 (\frac{k + 1}{3}) ดังนั้น g (x) = 2 {(\frac{x + 1}{3})}^{2} + 3 (\frac{x + 1}{3}) \to 2$

$โจทย์ต้องการหา (g \circ f^{- 1}) (25) โดย (g \circ f^{- 1}) (25) = g (f^{- 1} (25)) หา f^{- 1} (25) กำหนดให้ f^{- 1} (25) = x จะได้ f (x) = 25 จากโจทย์ f (x) = \{\begin{cases} x - 2 & , x \leq 0 \\ x^{2} & , x > 0 \end{cases} เงื่อนไข x \leq 0$

$ลองแทน x - 2 = 25 จะได้ x = 27 ซึ่งขัดกับเงื่อนไข x \leq 0 ลองแทน x^{2} = 25 จะได้ x = \pm 5 จะตรงกับเงื่อนไข x > 0 ซึ่งถ้า x = 5 จะตรงกับเงื่อนไข แสดงว่า f (5) = 25 จึงทำให้ f^{- 1} (25) = 5 เช่นกัน$

$ดังนั้น g (f^{- 1} (25)) = g (5); แทนค่า x = 5 ใน 2 = 2 {(\frac{5 + 1}{3})}^{2} + 3 (\frac{5 + 1}{3}) = 2 (4) + 3 (2) = 14$

ข้อถัดไป