ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

ข้อ 2

กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริง โดยที่ $ab > 0$
ให้ p แทนประพจน์ “ ถ้า $a < b$ แล้ว $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ’’

และ q แทนประพจน์ “ $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}$ ’’
ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริง

1
$(p \Rightarrow q) \lor (q \land ~ p)$
2
$(~ q \Rightarrow ~ p) \land (~ q \lor p)$
3
$(p \land ~ q) \land (q \Rightarrow p)$
4
$(~ p \Rightarrow q) \Rightarrow (p \land q)$

เฉลยข้อสอบ

$หาค่าความจริง p จากโจทย์ a < b - นำ a b ซึ่งมีค่าเป็นบวก (a b > 0) ไปคูณ หรือหาร เครื่องหมายอสมการจะไม่เปลี่ยน คูณด้วย \frac{1}{a b} จะได้ \frac{a}{a b} < \frac{b}{a b} โดย a b > 0 เครื่องหมายอสมการไม่เปลี่ยน$

$\frac{1}{b} < \frac{1}{a} \frac{1}{a} > \frac{1}{b} ดังนั้น ถ้า a < b แล้ว \frac{1}{a} > \frac{1}{b} มีค่าความจริงเป็นจริง ∴ p \equiv T$

$หาค่าความจริงของ q จากโจทย์ a b > 0 \{\begin{cases} a, b \in R^{+} \to [(+) (+) > 0] \\ a, b \in R^{-} \to [(-) (-) > 0] \end{cases} จากโจทย์ \sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b} - ถ้า a, b \in R^{-} จะทำให้ \sqrt{a} และ \sqrt{b} หาค่าไม่ได้ ดังนั้น \sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b} มีค่าความจริงเป็นเท็จ ∴ q \equiv F$

$แทน p \equiv T, q \equiv F ลงในตัวเลือก แล้วพิจารณา 1 . (p \to q) \lor (q \land ~ p) \equiv (T \to F) \lor (F \land ~ T) \equiv F \lor (F \land F) \equiv F \lor F \equiv F 2 . (~ q \to ~ p) \land (~ q \lor p) \equiv (~ F \to ~ T) \land (~ F \lor T) \equiv (T \to F) \land (T \lor T) \equiv F \land T \equiv F$

$3 . (p \land ~ q) \land (q \to p) \equiv (T \land ~ F) \land (F \to T) \equiv (T \land T) \land T \equiv T \land T \equiv T ข้อ 3 ถูกต้อง 4 . (~ p \to q) \to (p \land q) \equiv (~ T \to F) \to (T \land F) \equiv (F \to F) \to F \equiv T \to F \equiv F$