ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

ข้อ 42

ให้ $ℝ$ แทนเซตของจำนวนจริง ถ้า $f : ℝ \to ℝ$ เป็นฟังก์ชันซึ่ง $f'' (x) = 3 + 6 x$ สำหรับทุกจำนวนจริง x และความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง $y = f (x)$ ณ จุด $(2, 22)$ เท่ากับ 20 แล้วค่าของ $\lim_{x \to 4} f (x)$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f'' (x) = 3 + 6 x; ใส่ \int d x ทั้ง 2 ข้าง \int f'' (x) d x = \int (3 + 6 x) d x f' (x) = 3 x + \frac{6 x^{2}}{2} + c_{1}$
$จะได้ f' (x) = 3 x + 3 x^{2} + c_{1} \to 1; ใส่ \int d x \int f' (x) d x = \int (3 x + 3 x^{2} + c_{1}) d x f (x) = \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + c_{1} x + c_{2} จะได้ f (x) = \frac{3 x^{2}}{2} + x^{3} + c_{1} x + c_{2} \to 2$

$จากโจทย์ ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = f (x) ณ จุด (2, 22) เท่ากับ 20 แสดงว่า f (2) = 22 และ f' (2) = 20$

$จาก 1 f' (x) = 3 x + 3 x^{2} + c_{1} - แทน f' (2) = 20 จะได้ f' (2) = 3 (2) + 3 {(2)}^{2} + c_{1} 20 = 6 + 12 + c_{1} c_{1} = 2 - แทน c_{1} = 2 ลงใน f' (x) ดังนั้น f' (x) = 3 x + 3 x^{2} + 2$

$จาก 2 f (x) = \frac{3 x^{2}}{2} + x^{3} + c_{1} x + c_{2} - แทน f (2) = 22 จะได้ f (2) = \frac{3 {(2)}^{2}}{2} + {(2)}^{3} + 2 (2) + c_{2} 22 = 6 + 8 + 4 + c_{2} c_{2} = 4 - แทน c_{2} = 4 ลงใน f (x) จะได้ f (x) = \frac{3 x^{2}}{2} + x^{3} + 2 x + 4$

$ดังนั้น \lim_{x \to 4} f (x) = \lim_{x \to 4} (\frac{3 x^{2}}{2} + x^{3} + 2 x + 4) = \frac{3 {(4)}^{2}}{2} + {(4)}^{3} + 2 (4) + 4 = 24 + 64 + 8 + 4 = 100$