ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 10

กำหนดให้ $16 y^{2} - 9 x^{2} + 36 x + 32 y + 124 = 0$ เป็นสมการของไฮเพอร์โบลา ให้ $L$ เป็นเส้นตรงผ่านจุด $(0, 0)$ และจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลานี้ ผลบวกของระยะจากโฟกัสทั้งสองไปยังเส้นตรง $L$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$2 \sqrt{5}$
2
$3 \sqrt{5}$
3
$4 \sqrt{5}$
4
$5 \sqrt{5}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$ไฮเพอร์โบลา จากโจทย์ 16 y^{2} - 9 x^{2} + 36 x + 32 y + 124 = 0 เป็นไฮเพอร์โบลา (16 y^{2} + 32 y) + (- 9 x^{2} + 36 x) = - 124 16 (y^{2} + 2 y) - 9 (x^{2} - 4 x) = - 124 16 [y^{2} + 2 y + 1] - 9 [x^{2} - 4 x + 4] = - 124 + 16 - 36 16 {(y + 1)}^{2} - 9 {(x - 2)}^{2} = - 144 \frac{16 {(y + 1)}^{2}}{- 144} + \frac{9 {(x - 2)}^{2}}{- 144} = \frac{- 144}{- 144} \frac{{(x - 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = 1 \frac{{(x - 2)}^{2}}{4^{2}} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{3^{2}} = 1$

$แสดงว่า เป็นไฮเปอร์โบลาที่มีแกนสังยุคขนานแกน x จุดศูนย์กลาง (h, k) = (2, - 1), a = 4, b = 3 จากสูตร c^{2} = a^{2} + b^{2} c^{2} = 4^{2} + 3^{2} c = 5 จะได้ จุดโฟกัส (h \pm c, k) = (2 \pm 5, - 1) = F_{1} (7, - 1), F_{2} (- 3, - 1)$

$เส้นตรง L จากโจทย์ L เป็นเส้นตรงผ่านจุด (0, 0) และจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลานี้ แสดงว่า L ผ่านจุด (0, 0), (2, - 1)$

$- หาสมการเส้นตรง L จากสูตร m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} m = \frac{- 1 - 0}{2 - 0} = - \frac{1}{2} จากสูตร y - y_{1} = m (x - x_{1}); L ผ่านจุด (0, 0) y - 0 = - \frac{1}{2} (x - 0) 2 y = - x จะได้ เส้นตรง L คือ x + 2 y = 0 นำมาวาดรูปเส้นตรง L$

$จากโจทย ์ ผลบวกของระยะจากโฟกัสทั้งสองไปยังเส้นตรง L = ? จากสูตร d = \frac{|{Ax}_{0} + {By}_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} กำหนดให้ d_{1}, d_{2} = ระยะจากโฟกัสไปยังเส้นตรง L จะได้ d_{1} = \frac{|(1) (- 3) + 2 (- 1)|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} d_{2} = \frac{|(1) (7) + 2 (- 1)|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} แสดงว่า d_{1} + d_{2} = \sqrt{5} + \sqrt{5} = 2 \sqrt{5} ผลบวกของระยะจากโฟกัสทั้งสองไปยังเส้นตรง L เท่ากับ 2 \sqrt{5}$