ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 9

กล่องใบหนึ่งบรรจุลูกบอลขนาดเดียวกัน 7 ลูก เป็นลูกบอกสีขาว 4 ลูก และเป็นลูกบอลสีแดง 3 ลูก สุ่มหยิบลูกบอลจากกล่องใบนี้มา 6 ลูก นำมาจัดเรียงเป็นแถวตรง พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) ความน่าจะเป็นที่การจัดเรียงแถวตรงของลูกบอล โดยหัวแถวเป็นลูกบอลสีขาว

หรือท้ายแถวเป็นลูกบอลสีแดง เท่ากับ $\frac{11}{42}$

(ข) ความน่าจะเป็นที่การจัดเรียงแถวตรงของลูกบอล โดยหัวแถวเป็นลูกบอลสีขาว มากกว่า ความน่าจะเป็นที่ท้ายแถวเป็นลูกบอลสีแดง

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ กล่องใบหนึ่งบรรจุลูกบอลขนาดเดียวกัน 7 ลูก สุ่มหยิบลูกบอลจากกล่องใบนี้มา 6 ลูก จะได้ n (S) = C_{7, 6} \cdot 6! [หยิบลูกบอล 6 ลูก จากทั้งหมด 7 ลูก นำมาจัดเรียงเป็นแถวตรง] n (S) = \frac{7!}{6! (7 - 1)!} \cdot 6! = 7!$

$พิจารณาข้อ (ก) จากโจทย์ ความน่าจะเป็นที่การจัดเรียงแถวตรงของลูกบอล โดยหัวแถวเป็นลูกสีขาว หรือท้ายแถวเป็นลูกสีแดง = \frac{11}{42} จะได้ กำหนดให้ E_{1} แทนเหตุการณ์หัวแถวเป็นลูกบอลสีขาว E_{2} แทนเหตุการณ์ท้ายแถวเป็นลูกบอลสีแดง$

$หา P (E_{1} \cup E_{2}) จากสูตร P (E_{1} \cup E_{2}) = 1 - (E_{1} \cap E_{2}) \to 1 หา n (E_{1} \cap E_{2}) โดย E_{1} \cap E_{2} แทนเหตุการณ์หัวแถวเป็นสีขาว และท้ายแถวเป็นสีแดง$
$- หัวแถวหยิบสีขาว 1 ลูก จากทั้งหมด 4 ลูก = (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) วิธี - ท้ายแถวหยิบสีแดง 1 ลูก จากทั้งหมด 3 ลูก = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) วิธี - เหลือสีขาว + แดง ทั้งหมด 5 ลูก หยิบใส่ที่ว่าง 4 ตำแหน่ง = (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) วิธี - เมื่อวางลูกบอลทั้ง 4 ตำแหน่ง จัดเรียงเป็นเส้นตรง = 4! วิธี$

$จะได้ n (E_{1} \cap E_{2}) = (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot 4! = 12 \cdot 5! จากสูตร P (E_{1} \cap E_{2}) = \frac{n (E_{1} \cap E_{2})}{n (S)} = \frac{12 \cdot 5!}{7!} = \frac{12 \cdot 5!}{7 \cdot 6 \cdot 5!} = \frac{2}{7} จาก 1 จะได้ P (E_{1} \cup E_{2}) = 1 - P (E_{1} \cap E_{2}) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7} = \frac{30}{42} ดังนั้น ข้อ (ก) ผิด$

$พิจารณาข้อ (ข) จากโจทย์ ความน่าจะเป็นที่การจัดเรียงแถวตรง โดยหัวแถวเป็นลูกบอลสีขาว มากกว่า ความน่าจะเป็นที่ท้ายแถวเป็นลูกบอลสีแดง กำหนดให้ E_{1} = แทนเหตุการณ์หัวแถวเป็นลูกบอลสีขาว E_{2} = แทนเหตุการณ์ท้ายแถวเป็นลูกบอลสีแดง$

$จะได้ P (E_{1}) = \frac{n (E_{1})}{n (S)} = \frac{(\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot 5!}{n (S)} = \frac{(\frac{4!}{1! 5!}) (\frac{6!}{5! 1!}) \cdot 5!}{7!} = \frac{4 \times 6 \times 5!}{7!}$

$จะได้ P (E_{2}) = \frac{n (E_{2})}{n (S)} = \frac{(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot 5!}{n (S)} = \frac{(\frac{3!}{1! 2!}) (\frac{6!}{5! 1!}) \cdot 5!}{7!} = \frac{3 \times 6 \times 5!}{7!} แสดงว่า P (E_{1}) > P (E_{2}) ดังนั้น ข้อ (ข) ถูก$

ข้อถัดไป