ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 29

กำหนดให้ $z = a + b i$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงที่ $a b > 0$ และ $i = \sqrt{- 1}$ ถ้า $z^{3} = i$ แล้วค่าของ ${|i z^{5} + 2|}^{2}$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

(เมื่อ $|z|$ แทนค่าสัมบูรณ์ (absolute value) ของ $z$ )

1
$5 + 2 \sqrt{3}$
2
$7$
3
$5 - 2 \sqrt{3}$
4
$3$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ z^{3} = i z^{3} = 0 + i พิจารณา 0 + i เปลี่ยนเป็นพิกัดเชิงขั้ว จากสูตร z = r [cosθ + isinθ] จะได้ r = |z^{3}| = \sqrt{0^{2} + 1^{2}} = 1 tanθ = \frac{1}{0} \to θ = 90 ° แสดงว่า z^{3} = 1 [\cos 90 ° + isin 90 °]$

$จากสูตร การหารากที่ n ของ z z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} [\cos (\frac{2 kπ + θ}{n}) + isin (\frac{2 kπ + θ}{n})] โดย k = 0, 1, 2, 3, . . . จะได้รากที่ 3 ของ z^{3} คือ k = 0 จะได้ z_{1} = {(1)}^{\frac{1}{3}} [\cos (\frac{0 + 90 °}{3}) + isin (\frac{0 + 90 °}{3})] = \cos 30 ° + isin 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$

$k = 1 จะได้ z_{2} = {(1)}^{\frac{1}{3}} [\cos (\frac{2 π + 90 °}{3}) + isin (\frac{2 π + 90 °}{3})] = \cos 150 ° + isin 150 ° = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i k = 2 จะได้ z_{3} = {(1)}^{\frac{1}{3}} [\cos (\frac{4 π + 90 °}{3}) + isin (\frac{4 π + 90 °}{3})] = \cos 270 ° + isin 270 ° = 0 - i$

$จากโจทย์ z = a + bi โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริงที่ ab > 0 จะได้ z = z_{1} = \cos 30 ° + isin 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$

$จากโจทย์ ค่าของ {|{iz}^{5} + 2|}^{2} เท่ากับข้อใด หา z^{5} จากสูตร z^{n} = r^{n} [\cos (nθ) + isin (nθ)] จะได้ z^{n} = 1^{5} [\cos [5 (30 °)] + isin [5 (30 °)]] = \cos 150 ° + isin 150 ° = \frac{- \sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$

$หา {iz}^{5} + 2 จะได้ {iz}^{5} + 2 = i (\frac{- \sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i) + 2 = \frac{- \sqrt{3}}{2} i - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2} \frac{- \sqrt{3}}{2} i = \frac{- \sqrt{3}}{2} i - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2} \frac{- \sqrt{3}}{2} i$

$ดังนั้น |{iz}^{5} + 2| = {|\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i|}^{2} = {(\sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} + {(\frac{- \sqrt{3}}{2})}^{2}})}^{2} = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = \frac{12}{4} = 3$

ข้อถัดไป