ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

ข้อ 10

กำหนดให้ $ℝ$ แทนเซตของจำนวนจริง ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง และ $g : ℝ \to ℝ$ โดยที่ $g (1 + x) = x (2 + x)$ และ $(f \circ g) (x) = x^{2} + 1$ สำหรับ $x \in ℝ$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $\{x \in ℝ (g \circ f) (x) = (f \circ g) (x)\}$ เป็นเซตว่าง

(ข) $(g \circ f) (x) + 1 \geq 0$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x \geq - 1$

(ค) $(f + g) (x) \geq 1$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x \geq - 1$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
ข้อ (ก) ถูกเพียงข้อเดียว
2
ข้อ (ข) ถูกเพียงข้อเดียว
3
ข้อ (ค) ถูกเพียงข้อเดียว
4
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ

เฉลยข้อสอบ

$หา g (x) จากโจทย์ g (1 + x) = x (2 + x) \to 1 กำหนดให้ k = 1 + x x = k - 1 จาก 1 จะได้ g (k) = (k - 1) [2 + (k - 1)] = (k - 1) (k + 1) = k^{2} - 1 ดังนั้น g (x) = x^{2} - 1$

$หา f (x) จากโจทย์ (f \circ g) (x) = x^{2} + 1 f (g (x)) = x^{2} + 1; โดย g (x) = x^{2} - 1 f (x^{2} - 1) = x^{2} + 1 \to 2 กำหนดให้ k = x^{2} - 1 x^{2} = k + 1 จาก 2 จะได้ f (k) = (k + 1) + 1 = k + 2 ดังนั้น f (x) = x + 2$

$พิจารณาข้อ (ก) จากโจทย์ (g \circ f) (x) = (f \circ g) (x) g (f (x)) = f (g (x)) g (x + 2) = f (x^{2} - 1) {(x + 2)}^{2} - 1 = (x^{2} - 1) + 2 (x^{2} + 4 x + 4) - 1 = x^{2} + 1 4 x + 2 = 0 x = - \frac{1}{2} แสดงว่า เซตคำตอบของ (g \circ f) (x) = (f \circ g) (x) จึงไม่เป็นเซตว่าง ดังนั้น ข้อ (ก) ผิด$

$พิจารณาข้อ (ข) จากโจทย์ (g \circ f) (x) + 1 \geq 0 จะได้ g (f (x)) + 1 \geq 0 g (x + 2) + 1 \geq 0 [{(x + 2)}^{2} - 1] + 1 \geq 0 {(x + 2)}^{2} \geq 0 เป็นจริงเสมอ ดังนั้น x = R แสดงว่า ทุกจำนวนจริง x \geq - 1 ทำให้อสมการนี้เป็นจริง ดังน้ัน ข้อ (ข) ถูก$

$พิจารณาข้อ (ค) จากโจทย์ (f + g) (x) \geq 1 f (x) + g (x) \geq 1 (x + 2) + (x^{2} - 1) \geq 1 x^{2} + x \geq 0 x (x + 1) \geq 0 x \geq 0, - 1$

$x = (- \infty, - 1] \cup [0, \infty) แสดงว่า มีค่า x บางค่าในช่วง x \geq - 1 ทำให้อสมการนี้เป็นเท็จ เช่น x = - 0.5 ดังนั้น ข้อ (ค) ผิด ดังนั้น ตอบ 2) ข้อ (ข) ถูกเพียงข้อเดียว$