ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

ข้อ 11

ให้ $C$ เป็นวงกลมมีจุดศุนย์กลางอยู่ที่จุด $A$ เส้นตรง $3 x + 4 y = 35$ สัมผัสวงกลมที่จุด $(5, 5)$ ถ้าไฮเพอร์โบลารูปหนึ่ง มีแกนตามขวางขนานกับแกน $y$ มีจุดศุนย์กลางอยู่ที่จุด $A$ ระยะระหว่างจุดศูนย์กลางกับโฟกัสจุดหนึ่งเป็นสองเท่าของรัศมีของวงกลม $C$ และเส้นตรง $3 x - 4 y = 2$ เป็นเส้นกำกับเส้นหนึ่ง แล้วสมการไฮเพอร์โบลารูปนี้ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$9 x^{2} - 16 y^{2} + 32 x + 36 y + 596 = 0$
2
$9 x^{2} - 16 y^{2} - 32 x - 36 y + 596 = 0$
3
$9 x^{2} - 16 y^{2} + 32 x + 36 y - 596 = 0$
4
$9 x^{2} - 16 y^{2} - 36 x - 32 y + 596 = 0$
5
$9 x^{2} - 16 y^{2} - 36 x + 32 y + 596 = 0$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$วงกลม C จากโจทย์ C เป็นวงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด A จะได้ จุด A (h, k) เป็นจุดศูนย์กลางวงกลม จากโจทย์ เส้นตรง 3 x + 4 y = 35 สัมผัสวกลมที่จุด (5, 5) นำข้อมูลมาวาดรูป$

$แสดงว่า เส้นที่ผ่านจุด (5, 5) และจุด A ตั้งฉากกับเส้นตรง 3 x + 4 y = 35$

$ผลคูณของความชันของเส้นตรงทั้ง 2 เท่ากับ - 1 จะได้ m_{1} \cdot m_{2} = - 1 \to * จากสูตร ความชัน (m) = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} - เส้นตรงที่ผ่านจุด A (h, k) และจุด (5, 5) ความชัน (m_{1}) = \frac{5 - k}{5 - h}$

$- เส้นตรง 3 x + 4 y = 35 ความชัน (m_{2}) = - \frac{A}{B} = - \frac{3}{4} จาก * m_{1} \cdot m_{2} = - 1 (\frac{5 - k}{5 - h}) (- \frac{3}{4}) = - 1 4 h - 3 k - 5 = 0 \to 1$

$พิจารณา ไฮเปอร์โบลา จากรูปเมื่อ จุด A (h, k) อยู่บนเส้นตรง 3 x - 4 y = 2 ซึ่งเป็นสมการเส้นกำกับเส้นหนึ่ง จะไดว่า 3 h - 4 k - 2 = 0 \to 2 จาก 1, 2 แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร 1 x 3; 12 h - 9 k - 15 = 0 \to 3 2 x 4; 12 h - 16 k - 8 = 0 \to 4 3 - 4 7 k - 7 = 0 k = 1 แทนค่า k ใน 1 จะได้ 4 h - 3 (1) - 5 = 0 4 h = 8 h = 2 ดังนั้น จุด A (h, k) = (2, 1)$

$ไฮเพอร์โบลา จากโจทย์ ไฮเพอร์โบลารูปหนึ่งมีแกนตามขวางขนานกับแกน y มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด A จะได้ (h, k) = (2, 1) จากสูตร ไฮเพอร์โบลาแกนตามขวางขนานกับแกน y \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1 \to * *$

$จากโจทย์ ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางกับโฟกัสจุดหนึ่ง เป็นสองเท่าของรัศมีวงกลม C จะได้ c = 2 r โดย r = ระยะระหว่างจุด A (2, 1) และ (5, 5) r = \sqrt{{(2 - 5)}^{2} + {(1 - 5)}^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5 แสดงว่า c = 2 (5) = 10$

$จากโจทย์ เส้นตรง 3 x - 4 y = 2 เป็นเส้นกำกับเส้นหนึ่ง จะได้ ความชัน = \frac{a}{b} = \frac{3}{4} a = \frac{3}{4} b$

$จากสูตร c^{2} = a^{2} + b^{2} 10^{2} = {(\frac{3}{4} b)}^{2} + b^{2} 100 = \frac{9}{16} b^{2} + \frac{16}{16} b^{2} b^{2} = \frac{16 \times 100}{25} = 64 b = 8; โดย a = \frac{3}{4} b a = \frac{3}{4} (8) = 6$

$จาก * * \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1 โดย (h, k) = (2, 1), a = 6, b = 8 จะได้ \frac{{(y - 1)}^{2}}{6^{2}} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{8^{2}} = 1 \frac{(y^{2} - 2 y + 1)}{36} - \frac{(x^{2} - 4 x + 4)}{64} = 1 9 x^{2} - 16 y^{2} - 36 x + 32 y + 596 = 0 สมการไฮเพอร์โบลา คือ 9 x^{2} - 16 y^{2} - 36 x + 32 y + 596 = 0$

ข้อถัดไป