ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

ข้อ 13

กำหนดให้ $P$ เป็นพาราโบลารูปหนึ่งมีสมการเป็น $x^{2} + 4 x + 3 y - 5 = 0$ และพาราโบลา $P$ ตัดแกน $x$ ที่จุด $A$ และจุด $B$ ถ้า $E$ เป็นวงรีที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด $A$ และจุด $B$ และผลบวกของระยะทางจากจุดยอดของพาราโบลา $P$ ไปยังโฟกัสทั้งสองของวงรี $E$ เท่ากับ $2 \sqrt{13}$ หน่วย แล้วสมการวงรี $E$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$x^{2} + 4 x + 9 y^{2} = 5$
2
$3 x^{2} + 12 x + 5 y^{2} = 15$
3
$5 x^{2} + 20 x + 9 y^{2} = 25$
4
$6 x^{2} + 24 x + 25 y^{2} = 30$
5
$9 x^{2} + 36 x + 16 y^{2} = 45$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$พาราโบลา P จากโจทย์ P เป็นรูปพาราโบลารูปหนึ่ง ซึ่งมีสมการเป็น x^{2} + 4 x + 3 y - 5 = 0 จะได้ x^{2} + 4 x = - 3 y + 5 x^{2} + 4 x + 4 = - 3 y + 5 + 4 {(x + 2)}^{2} = - 3 y + 9 {(x + 2)}^{2} = - 3 (y - 3) \to 1 {(x + 2)}^{2} = 4 (\frac{- 3}{4}) (y - 3)$

$จากสูตร พาราโบลา {(x - h)}^{2} = 4 c (y - k) แสดงว่า เป็นพาราโบลาที่มีแกนสมมาตรขนานแกน y และเป็นพาราโบลาคว่ำ (c ติด -) จุดยอด (h, k) = (- 2, 3)$

$จากโจทย์ พาราโบลา P ตัดแกน x ที่จุด A และจุด B หาจุดตัดแกน x \to แทน y = 0 ใน 1 จะได้ {(x + 2)}^{2} = - 3 (0 - 3) {(x + 2)}^{2} = 9 x + 2 = \pm 3 x = - 5, 1 แสดงว่า จุด A และ B คือ (- 5, 0), (1, 0)$

$วงรี E จากโจทย์ E เป็นวงรีที่มีจุดยอดที่จุด A และ B แสดงว่า แกนเอกอยู่บนแกน x - จุดศูนย์กลางวงรี (h, k) = จุดกึ่งกลางระหว่างจุด A และ B = (\frac{- 5 + 1}{2}, 0) C (h, k) = (- 2, 0) - ความยาวแกนเอก (2 a) = 1 - (- 5) = 6 a = 3 นำมาวาดรูปวงรี E ด้านล่าง$

$จากโจทย์ ผลบวกของระยะทางจากจุดยอดของพาราโบลา P ไปยังโฟกัสทั้งสองของวงรี E เท่ากับ 2 \sqrt{13} หน่วย จะได้ V F + V F' = 2 \sqrt{13} แต่ ∆ V F F' เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (V F = V F') 2 V F = 2 \sqrt{13} V F = \sqrt{13} นำมาวาดรูป$

$จากรูป ∆ V C F เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ 3^{2} + c^{2} = {(\sqrt{13})}^{2} (สูตรปีทาโกรัส) c^{2} = 4 c = 2 จากสูตร c^{2} = a^{2} - b^{2} b^{2} = a^{2} - c^{2} = 3^{2} - 2^{2} = 5 b = \sqrt{5}$

$จากสูตร สมการวงรี \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 \frac{{(x + 2)}^{2}}{3^{2}} + \frac{{(y - 0)}^{2}}{{(\sqrt{5})}^{2}} = 1 \frac{{(x + 2)}^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1 5 {(x + 2)}^{2} + 9 y^{2} = 45 5 (x^{2} + 4 x + 4) + 9 y^{2} = 45 5 x^{2} + 20 x + 9 y^{2} = 25 ดังนั้น ตอบ 3) 5 x^{2} + 20 x + 9 y^{2} = 25$

ข้อถัดไป