ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

ข้อ 18

กำหนดให้ $ℝ$ เป็นเซตของจำนวนจริง ให้ $f : ℝ \to ℝ$ และ $g : ℝ \to ℝ$ เป็นฟังก์ชัน โดยที่ $f (x + 3) = x + 4$ และ $(f^{- 1} \circ g) (x) = 3 x f (x) - 3 x - 4$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ถ้า $A$ เป็นเรนจ์ของ $g \circ f$ และ $B$ เป็นเรนจ์ของ $f \circ g$ แล้ว $A - B$ เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้

1
$(0, 2)$
2
$(- 2, 1)$
3
$(- 3, 0)$
4
$(- 4, - 2)$
5
$(- 6, - 3)$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f (x + 3) = x + 4 กำหนดให้ k = x + 3 x = k - 3 จะได้ f (k) = (k - 3) + 4 f (k) = k + 1 f (x) = x + 1$

$- หา f^{- 1} (x) จาก f (x) = x + 1 จะได้ y = x + 1 หา f^{- 1} (x) โดย เปลี่ยน x เป็น y, เปลี่ยน y เป็น x จะได้ x = y + 1 y = x - 1 ดังนั้น f' (x) = x - 1$

$จากโจทย์ (f^{- 1} \circ g) (x) = 3 x f (x) - 3 x - 4 จะได้ f^{- 1} (g (x)) = 3 x (x + 1) - 3 x - 4 g (x) - 1 = 3 x^{2} + 3 x - 3 x - 4 g (x) - 1 = 3 x^{2} - 4 ดังนั้น g (x) = 3 x^{2} - 3$

$- หา A โดย A = R_{g \circ f} จาก (g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (x + 1) (g \circ f) (x) = 3 {(x + 1)}^{2} - 3 นั่นคือ y = 3 {(x + 1)}^{2} - 3 (การหา R a n g e คือ การหาขอบเขตค่า y ในสมการ)$

$จัดรูปใหม่ให้อยู่ในรูป x = y; (y = เทอมของตัวแปร y) จะได้ 3 {(x + 1)}^{2} = y + 3 {(x + 1)}^{2} = \frac{y + 3}{3} x + 1 = \pm \sqrt{\frac{y + 3}{3}} x = \pm \sqrt{\frac{y + 3}{3}} - 1$

$พิจารณา เทอม y ที่ทำให้จำนวนจริงหาค่าได้ จะได้ \frac{y + 3}{3} \geq 0 y + 3 \geq 0 y \geq - 3 R_{g \circ f} = [3, \infty) ดังนั้น A = [3, \infty)$

$- หา B โดย B = R_{f \circ g} จาก (f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (3 x^{2} - 3) = (3 x^{2} - 3) + 1 (f \circ g) (x) = 3 x^{2} - 2 นั่นคือ y = 3 x^{2} - 2 (การหา R a n g e คือ การหาค่าขอบเขตของค่า y ในสมการ)$

$จัดรูปใหม่ ให้อยู่ในรูป x = y; (y = เทอมของตัวแปร y) จะได้ y + 2 = 3 x^{2} x^{2} = \frac{y + 2}{3} x = \pm \sqrt{\frac{y + 2}{3}} พิจารณา เทอม y ที่ทำให้จำนวนจริงหาค่าได จะได้ \frac{y + 2}{3} \geq 0 y \geq - 2 R_{f \circ g} = [- 2, \infty) ดังนั้น B = [- 2, \infty)$

$ดังนั้น A - B = [- 3, \infty) - [- 2, \infty) = [- 3, - 2) = [- 3, - 2) \subset [- 4, - 2) ดังนั้น ตอบ 4) [- 4, - 2)$

ข้อถัดไป