ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

ข้อ 24

กำหนดให้ $a_{n} = \frac{2}{4 n^{2} - 1} - {(- \frac{1}{3})}^{n}$ สำหรับ $n = 1, 2, 3, . . .$ อนุกรม $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
อนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกเท่ากับ $\frac{5}{4}$
2
อนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกเท่ากับ $\frac{3}{4}$
3
อนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกเท่ากับ $\frac{5}{6}$
4
อนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกเท่ากับ $\frac{1}{6}$
5
อนุกรมลู่ออก

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a_{n} = \frac{2}{4 n^{2} - 1} - {(- \frac{1}{3})}^{n} จะได้ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{2}{4 n^{2} - 1} - {(- \frac{1}{3})}^{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2}{4 n^{2} - 1} - \sum_{n = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{3})}^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2}{(2 n - 1) (2 n + 1)} - \sum_{n = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{3})}^{n}$
$= \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1}) - \sum_{n = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{3})}^{n} = ((\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \dots) - ((- \frac{1}{3}) + {(- \frac{1}{3})}^{2} + {(- \frac{1}{3})}^{3} + \dots) = \frac{1}{1} - ((- \frac{1}{3}) + {(- \frac{1}{3})}^{2} + {(- \frac{1}{3})}^{3} + \dots)$

$จากสูตร S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} จะได้ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = 1 - (\frac{- \frac{1}{3}}{1 - (- \frac{1}{3})}) = \frac{5}{4} ดังนั้น ตอบ 1) อนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกเท่ากับ \frac{5}{4}$

ข้อถัดไป