ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559 | ความถนัดทางคณิตศาสตร์

ข้อ 7

กำหนกเอกภพสัมพัทธ์คือ $\{x \in ℝ 0 < |x| < 2\}$ เมื่อ $ℝ$ แทนเซตของจำนวนจริง

ให้ $P (x)$ แทน $\frac{||x| - x|}{x} \leq 0$ และ $Q (x)$ แทน $|x - \sqrt{{(x - 1)}^{2}}| < 3$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้ถูกต้อง

(ก) $\exists x [Q (x)] \to \forall x [P (x)]$ มีค่าความจริงเป็น จริง

(ข) $\forall x [P (x) \land Q (x)]$ มีค่าความจริงเป็น จริง

(ค) $\forall x [~ P (x)] \lor \forall x [Q (x)]$ มีค่าความจริงเป็น เท็จ

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ ข้อ (ค) ผิด
2
ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด
3
ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผิด
4
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ เอกภพสัมพัทธ์คือ 0 < |x| < 2 จะได้ 0 < |x| และ |x| < 2 |x| > 0 \cap - 2 < x < 2 x = R - \{0\} x = \{- 2, 2\} ดังนั้น เอกภพสัมพัทธ์ (U) = R - \{0\} \cap \{- 2, 2\} = (- 2, 0) \cup (0, 2)$

$หา P (x) จากโจทย์ P (x) แทน \frac{||x| - x|}{x} \leq 0 นิยาม |x| = \{\begin{cases} - x & ; โดย x < 0 \\ x & ; โดย x \geq 0 \end{cases}$

$กรณี 1 x < 0 จะได้ว่า |x| = - x จาก \frac{||x| - x|}{x} \leq 0 โดย x \neq 0 (ส่วนห้ามเป็น 0) \frac{|(- x) - x|}{x} \leq 0 \frac{|- 2 x|}{x} \leq 0 \frac{|- 2| |x|}{x} \leq 0 \frac{2 (- x)}{x} \leq 0 - 2 \leq 0 เป็นจริงเสมอ ดังนั้นจะได้ x = R; โดย x \neq 0 x = R - \{0\} นำเซตคำตอบไป i n t e r s e c t กับเงื่อนไข กรณี 1 (x < 0) จะได้ x = R \cap x \neq 0 \cap x < 0 ดังน้ัน x = (- \infty, 0)$

$กรณี 2 x \geq 0 จะได้ว่า |x| = x จาก \frac{||x| - x|}{x} \leq 0; x \neq 0 \frac{|x - x|}{x} \leq 0 \frac{0}{x} \leq 0 0 \leq 0 เป็นจริงเสมอ ดังนั้นจะได้ x = R; โดย x \neq 0 x = R - \{0\} นำเซตคำตอบไป i n t e r s e c t กับเงื่อนไข กรณี 2 (x \geq 0) จะได้ x = R \cap x \neq 0 \cap x \geq 0 ดังนั้น x = (0, \infty)$

$จากกรณี 1 และ กรณี 2 นำเซตคำตอบมา U n i o n จะได้ P (x) = (- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

$หา Q (x) จากโจทย์ Q (x) แทน |x - \sqrt{{(x - 1)}^{2}}| < 3 โดย \sqrt{a^{2}} = |a| จะได้ว่า |x - |x - 1|| < 3 นิยาม |x - 1| = \{\begin{cases} - (x - 1) & ; โดย x - 1 < 0 \to x < 1 \\ (x - 1) & ; โดย x - 1 \geq 0 \to x \geq 1 \end{cases}$

$กรณี 1 x < 1 ทำให้ |x - 1| = - (x - 1) จาก |x - |x - 1|| < 3 จะได้ |x - [- (x - 1)]| < 3 |x + (x - 1)| < 3 |2 x - 1| < 3 จากนิยาม |x| < a จะได้ว่า - a < x < a ดังนั้น - 3 < 2 x - 1 < 3 - 3 + 1 < 2 x < 3 + 1 - 2 < 2 x < 4 - 1 < x < 2 x = (- 1, 2) นำเซตคำตอบไป i n t e r s e c t กับเงื่อนไข กรณี 1 (x < 1) จะได้ x = (- 1, 2) \cap x < 0 ดังนั้น x = (- 1, 1)$

$กรณี 2 x \geq 1 ทำให้ |x - 1| = x - 1 จาก |x - |x - 1|| < 3 จะได้ |x - (x - 1)| < 3 |1| < 3 1 < 3 (เป็นจริงเสมอ) ดังนั้น x = R นำเซตคำตอบไป i n t e r s e c t กับเงื่อนไข กรณี 2 x \geq 1 จะได้ x = R \cap x \geq 1 ดังนั้น x = [1, \infty)$

$จากกรณี 1 และกรณี 2 นำเซตคำตอบมา U n i o n กัน จะได้ Q (x) = (- 1, 1) \cup [1, \infty) Q (x) = (- 1, \infty)$

$พิจารณาข้อ (ก) พิจารณา \exists x [Q (x)] \to \forall x [P (x)] มีค่าความเป็นจริง หรือไม่ โดย เอกภพสัมพัทธ์ (U) = (- 2, 0) \cup (0, 2) จะได้ \exists x [Q (x)] \equiv T เนื่องจากมีค่า x ในเอกภพสัมพัทธ์อย่างน้อย 1 ค่า อยู่ในเซตคำตอบของ Q (x) เช่น x = 1 และ \forall x [P (x)] \equiv T เนื่องจากมีค่า x ในเอกภพสัมพัทธ์ทุกตัว อยู่ในเซตคำตอบของ P (x) แสดงว่า \exists x [Q (x)] \to \forall x [P (x)] \equiv T \to T \equiv T ดังนั้น ข้อ (ก) ถูก$

$พิจารณาข้อ (ข) พิจารณา \forall x [P (x) \land Q (x)] มีค่าความเป็นจริง หรือไม่ โดยเอกภพสัมพัทธ์ (U) = (- 2, 0) \cup (0, 2) จะได้ \forall x [P (x) \land Q (x)] \equiv \forall x [x \in (- \infty, 0) \cup (0, \infty) และ x \in (- 1, \infty)] \equiv \forall x [x \in (- 1, 0) \cup (0, \infty)] แสดงว่า \forall x [P (x) \land Q (x)] \equiv F เนื่องจากมีค่า x ในเอกภพสัมพัทธ์บางตัวไม่ได้อยู่ ในช่วง (- 1, 0) \cup (0, \infty) เช่น x = - 1 ดังนั้น ข้อ (ข) ผิด$

$พิจารณาข้อ (ค) พิจารณา \forall x [~ P (x)] \lor \forall x [Q (x)] มีค่าความเป็นจริง หรือไม่ จาก (ก) \forall x [P (x)] \equiv T จึงทำให้ \forall x [~ P (x)] \equiv F และ \forall x [Q (x)] \equiv F เพราะมีค่า x ในเอกภพสัมพัทธ์บางค่า ไม่ได้อยู่ในช่วงของ Q (x) = (- 1, \infty) เช่น x = 0 แสดงว่า \forall x [~ P (x)] \lor \forall x [Q (x)] \equiv F \lor F \equiv F ดังนั้น ข้อ (ค) ถูก ดังนั้น ตอบ 2) ข้อ (ก) และ (ค) ถูก แต่ข้อ (ข) ผิด$