ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

ข้อ 15

จากตัวเลข $1, 2, 3, . . ., 9$ นำมาสร้างจำนวนห้าหลักใช้เลขซ้ำกันได้ ความน่าจะเป็นที่จะได้จำนวนห้าหลักโดยที่ใน

แต่ละหลักเป็นตัวเลขที่แตกต่างกันเพียง $3$ จำนวนเท่านั้น มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{280}{2187}$
2
$\frac{560}{2187}$
3
$\frac{1400}{6561}$
4
$\frac{5040}{6561}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ ตัวเลข 1, 2, 3, . . ., 9 นำมาสร้างจำนวนห้าหลัก จะได้ n (s) = 9 \times 9 \times 9 \times 9 \times 9 = 9^{5} แบบ จากโจทย์ ความน่าจะเป็นที่จะได้จำนวนห้าหลักโดยที่ ในแต่ละหลักเป็นตัวเลขที่แตกต่างกันเพียง 3 จำนวน แสดงว่า n (E) = จำนวนห้าหลักโดยที่แต่ละหลัก เป็นเลขที่แตกต่างกันเพียง 3 จำนวน$

$มี 2 กรณี กรณี (1) n (E_{1}) ซ้ำ 3 ตัว + ต่าง 2 ตัว [A A A B C] จะได้ - เลือกตัวซ้ำ 3 ตัว จาก 1 - 9 = C_{9, 1} - เลือกตัวต่าง 2 ตัว จากเลข 8 ตัวที่เหลือ = C_{8, 2} - ตัวเลข 5 ตัว จัดเรียงได้ = \frac{5!}{3! 1! 1!} แสดงว่า n (E_{1}) = C_{9, 1} \cdot C_{8, 2} \cdot \frac{5!}{3! 1! 1!}$

$กรณี (2) n (E_{2}) ซ้ำ 2 คู่ + ต่าง 1 ตัว [A A B B C] จะได้ - เลือกตัวซ้ำ 2 คู่ จาก 1 - 9 = C_{9, 2} - เลือกตัวต่าง 1 ตัว จากเลข 7 ตัวที่เหลือ = C_{7, 1} - ตัวเลข 5 ตัว จัดเรียงได้ = \frac{5!}{2! 2! 1!} แสดงว่า n (E_{2}) = C_{9, 2} \cdot C_{7, 1} \cdot \frac{5!}{2! 2! 1!}$

$จากสูตร P (E) = \frac{n (E)}{n (S)} = \frac{n (E_{1}) + n (E_{2})}{n (S)}$
$= \frac{C_{9, 1} \cdot C_{8, 2} \cdot \frac{5!}{3! 1! 1!} + C_{9, 2} \cdot C_{7, 1} \cdot \frac{5!}{2! 2! 1!}}{n (S)} = \frac{(\frac{9!}{8! 1!}) (\frac{8!}{2! 6!}) (\frac{5!}{3!}) + (\frac{9!}{7! 2!}) (\frac{7!}{6!}) (\frac{5!}{2! 2!})}{9^{5}} = \frac{(9 \times 4 \times 7 \times 5 \times 4) + (9 \times 8 \times 7 \times 5 \times 3)}{9^{5}} = \frac{1400}{6561}$