ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

ข้อ 38

ต้องการจัดเรียงตัวอักษร $P, P, P, A, A, A, T, T, T$ ทั้งหมด (ไม่คำนึงถึงความหมาย) โดยมีเงื่อนไขว่า ตัวอักษร $P$ ทั้งสามตัวต้องอยู่แยกกันทั้งหมดและตัวอักษร $T$ ทั้งสามตัวต้องอยู่แยกกันทั้งหมด จะมีวิธีการเรียงตัวอักษรดังกล่าวได้ทั้งหมดกี่วิธี

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$วางตัว A ทั้งสามตัวเป็นหลักก่อน □ A □ A □ A □ จะได้ที่ว่างในการวางตัว P และตัว T อย่างละ 4 ตำแหน่ง โดยแบ่งเป็นกรณีได้ดังนี้ กรณี 1) TTT (ตัว T ทั้งสามตัวติดกัน) \to เลือกช่องให้ TTT ซึ่งมีช่องระหว่าง A ทั้งหมด 4 ช่อง$
$□ A □ A □ A □ จะสามารถเลือกวาง TTT ได้ 4 แบบ ตามด้านล่าง □ A □ A TTT A □ \to แทรก P ระหว่าง T - โดยเสียบ P สองตัวแรกไปแทรกระหว่าง TTT เพื่อไม่ให้ T ติดกัน □ A □ A T P T P T A □ - และแทรก P ตัวสุดท้าย □ A □ A □ T P T P T □ A □$
$ซึ่ง P ตัวสุดท้ายเลือกแทรกได้ 5 แบบ ∴ กรณีที่ 1 มี 5 x 4 = 20 แบบ กรณี 2) TT, T (ตัว T สองตัวติดกัน และ ตัว T อีกตัวแยกออกไป) \to เลือกช่องให้ TT, T ซึ่งมีช่องระหว่าง A ทั้งหมด 4 ช่อง □ A □ A □ A □$

$จะสามารถเลือกวาง TT ได้ 4 แบบ และสามารถเลือกวาง T ได้ 3 แบบ ดังนั้นเลือก TT และ T ได้ 4 x 3 แบบ เช่น T A TT A □ A □ \to แทรก P ตัวแรกไปที่ TT เพื่อไม่ ให้ T ไม่ติดกัน T A T P T A □ A □$

$แทรก P 2 ตัวที่เหลือ (โดยห้ามแทรกติดกับ P ตัวแรก) ซึ่ง P 2 ตัวที่เหลือจะมีช่องให้เลือกได้ 6 ช่องคือ (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) แบบ □ T □ A □ T P T □ A □ A □ ∴ กรณีที่ 2 มี 4 \times 3 \times (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) = 4 \times 3 \times \frac{6 \times 5}{2} = 180 แบบ$

$กรณี 3) T, T, T (ตัว T ไม่ติดกันเลย) \to เลือกช่องให้ T, T, T ซึ่งมีช่องระหว่าง A ทั้งหมด 4 ช่อง □ A □ A □ A □ เลือกให้ T ทั้งสามตัวได้ (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) แบบ เช่น T A T A T A □$

$\to แทรก P ทั้งสามตัว ไปที่ช่องว่างทั้ง 7 ช่อง จะเลือกได้ (\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}) แบบ ตามด้านล่าง □ T □ A □ T □ A □ T □ A □ ∴ กรณีที่ 3 มี (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{4!}{3! 1!} \times \frac{7!}{4! 3!} = 4 \times \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2} = 140 แบบ$

$ดังนั้น จาก 3 กรณี จะจัดเรียงได้ทั้งหมด = 20 + 180 + 140 = 340 แบบ$

ข้อถัดไป