ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

ข้อ 6

ให้ $ℝ$ แทนเซตของจำนวนจริง ถ้า $𝑓 : ℝ \to ℝ$ และ $𝑔 : ℝ \to ℝ$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

โดยที่ $(𝑓 \circ 𝑔) (x) = 4 x - 5$ และ $𝑔^{- 1} (x) = 2 x + 1$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $4 (𝑓^{- 1} \circ 𝑔) (2 x + 1) = 𝑔 (x) + 1$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$

(ข) $(𝑔^{- 1} \circ (𝑓^{- 1} \circ 𝑔)) (x) = 𝑓^{- 1} (x) + 1$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ g^{- 1} (x) = 2 x + 1 y = 2 x + 1 หา g (x) ต้องเปลี่ยน y เป็น x, เปลี่ยน x เป็น y จะได้ x = 2 y + 1 y = \frac{x - 1}{2} g (x) = \frac{x - 1}{2}$

$จากโจทย์ (f \circ g) (x) = 4 x - 5 f (g (x)) = 4 x - 5; แทนค่า g (x) จะได้ f (\frac{x - 1}{2}) = 4 x - 5 \to 1$

$กำหนดให้ k = \frac{x - 1}{2} x = 2 k = 1 แทนค่า k, x ใน 1 จะได้ f (k) = 4 (2 k + 1) - 5 f (x) = 4 (2 x + 1) - 5 f (x) = 8 x - 1 y = 8 x - 1$

$หา f^{- 1} (x) ต้องเปลี่ยน y เป็น x, เปลี่ยน x เป็น y จะได้ x = 8 y - 1 y = \frac{x + 1}{8} f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{8}$

$พิจารณา (ก) จากโจทย์ 4 (f^{- 1} \circ g) (2 x - 1) = g (x) + 1 4 f^{- 1} (g (2 x + 1)) = g (x) + 1 โดย g (x) = \frac{x - 1}{2} จะได้ 4 f^{- 1} (\frac{(2 x + 1) - 1}{2}) = (\frac{x - 1}{2}) + 1$
$4 f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{2} 4 (\frac{x + 1}{8}) = \frac{x + 1}{2} \frac{x + 1}{2} = \frac{x + 1}{2} ดังนั้น ข้อ (ก) ถูก$

$พิจารณา (ข) จากโจทย์ (g^{- 1} \circ (f^{- 1} \circ g)) (x) = f^{- 1} (x) + 1 g^{- 1} (f^{- 1} (g (x))) = f^{- 1} (x) + 1 โดย g (x) = \frac{x - 1}{2}$
$จะได้ g^{- 1} (f^{- 1} (\frac{x - 1}{2})) = f^{- 1} (x) + 1 โดย f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{8}$
$จะได้ g^{- 1} (\frac{(\frac{x - 1}{2}) + 1}{8}) = \frac{x + 1}{8} + 1 g^{- 1} (\frac{x + 1}{16}) = \frac{x + 9}{8} 2 (\frac{x + 1}{16}) + 1 = \frac{x + 9}{8} \frac{x + 9}{8} = \frac{x + 9}{8} ดังนั้น ช้อ (ข) ถูก$