ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

ข้อ 8

ให้ $𝐅$ เป็นโฟกัสของพาราโบลา $4 y = x^{2} - 6 x + 13$ ถ้าไฮเพอร์โบลารูปหนึ่งมีสมบัติดังนี้

(ก) แกนตามขวางขนานแกน $y$

(ข) จุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลาอยู๋ที่ $𝐅$

(ค) โฟกัสหนึ่งของไฮเพอร์โบลาคือ $(3, 2 + 2 \sqrt{13})$

(ง) แกนสังยุคยาว $12$ หน่วย

แล้วไฮเพอร์โบลารูปนี้มีสมการตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$4 x^{2} - 9 y^{2} - 24 x + 36 y + 144 = 0$
2
$4 x^{2} - 9 y^{2} - 24 x + 36 y - 36 = 0$
3
$9 y^{2} - 4 x^{2} + 24 x + 36 y - 144 = 0$
4
$9 y^{2} - 4 x^{2} + 24 x + 36 y + 36 = 0$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ F เป็นโฟกัสของพาราโบลา 4 y = x^{2} - 6 x + 13 พิจารณา 4 y = x^{2} - 6 x + 13 4 y - 13 = x^{2} - 6 x 4 y - 13 + 9 = x^{2} - 6 x + 9 4 y - 4 = {(x - 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 4 (y - 1) {(x - 3)}^{2} = 4 (1) (y - 1)$

$จากสูตร สมการพาราโบลา {(x - h)}^{2} = 4 c (y - k) จะได้ พาราโบลามีแกนสมมาตรขนาน y เป็นกราฟหงาย เพราะ c = \pm 1 จุดยอด (h, k) = (3, 1) จุดโฟกัส (h, k + c) = (3, 1 + 1) = (3, 2)$

$จากโจทย์ ถ้าไฮเพอร์โบลารูปหนึ่งมีสมบัติดังนี้ ก) แกนตามขวางขนานแกน y แสดงว่า \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1 ข) จุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลาอยู๋ที่ F แสดงว่า (h, k) = (3, 2) ค) โฟกัสหนึ่งของไฮเพอร์โบลาคือ (3, 2 + 2 \sqrt{13}) แสดงว่า F (3, 2 + 2 \sqrt{13}) \to c = 2 \sqrt{13} ง) แกนสังยุคยาว 12 หน่วย แสดงว่า 2 b = 12 \to b = 6$

$จาก c^{2} = a^{2} + b^{2} a^{2} = c^{2} - b^{2} = {(2 \sqrt{13})}^{2} - 6^{2} = 52 - 36 = 16 a = 4 แสดงว่า (h, k) = (3, 2), a = 4, b = 6 สมการไฮเพอร์โบลา \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1 \frac{{(y - 2)}^{2}}{4^{2}} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{6^{2}} = 1 \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{36} = 1$

$จะได้ 36 {(y - 2)}^{2} - 16 {(x - 3)}^{2} = 36 (16) 36 (y^{2} - 4 y + 4) - 16 (x^{2} - 6 x + 9) = 576 36 y^{2} - 144 y + 144 - 16 x^{2} + 96 x - 144 = 576 36 y^{2} - 144 y - 16 x^{2} + 96 x - 576 = 0$
$หารทั้งสมการด้วย 4 จะได้ 9 y^{2} - 4 x^{2} - 36 y + 24 x - 144 = 0 คูณทั้งสมการด้วย - 1 จะได้ 4 x^{2} - 9 y^{2} - 24 x + 36 y + 144 = 0 ดังนั้น ไฮเพอร์โบลามีสมการ 4 x^{2} - 9 y^{2} - 24 x + 36 y + 144 = 0$

ข้อถัดไป