ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

ข้อ 9

กำหนดให้วงรีรูปหนึ่งมีสมการเป็น $x^{2} + A y^{2} + B x + C y - 92 = 0$ โดยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(2, 1)$ และ

แกนเอกยาวเป็น $2$ เท่าของแกนโท ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
$A + B + C = 0$
2
ความเยื้องศูนย์กลางของวงรีเท่ากับ $\frac{\sqrt{3}}{5}$
3
วงรีมีจุดศูนย์กลางร่วมกับจุดศูนย์กลางของวงกลม $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 20 = 0$

และแกนเอกยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม
4
ผลบวกของระยะทางจากจุด $(2, 6)$ ไปยังโฟกัสทั้งสองของวงรีเท่ากับ $20$ หน่วย

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ วงรีรูปหนึ่งมีสมการเป็น x^{2} + {Ay}^{2} + Bx + Cy - 92 = 0 (โจทย์ต้องกำหนดให้ A > 1 ด้วย) มีจุดศูนย์กลาง (2, 1) และแกนเอกยาวเป็น 2 เท่าของแกนโท จะได้ (h, k) = (2, 1), 2 a = 2 (2 b) \to a = 2 b$

$สมการวงรี \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 \to 1 สมมติให้ \frac{{(x - h)}^{2}}{1} + \frac{{(y - k)}^{2}}{\frac{1}{A}} = 1 สัมประสิทธิ์หน้า x^{2} และ y^{2} เป็น x^{2}, {Ay}^{2} ซึ่งตรงกับสมการที่โจทย์กำหนด$
$จะได้ว่า แกนเอกขนานแกน x เนื่องจาก 1 > \frac{1}{A} แทนค่า (h, k), a, b ใน 1 จะได้ \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 \frac{{(x - 2)}^{2}}{(2 b^{2})} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{b^{2}} = 1 \frac{{(x - 2)}^{2}}{4 b^{2}} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{b^{2}} = 1 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 4 b^{2} x^{2} - 4 x + 4 + 4 y^{2} - 8 y + 4 = 4 b^{2} x^{2} + 4 y^{2} - 4 x - 8 y + 8 - 4 b^{2} = 0$

$เทียบกับสมการ x^{2} + {Ay}^{2} + Bx + Cy - 92 = 0 จะได้ A = 4, B = - 4, C = - 8, 8 - 4 b^{2} = - 92 โดยพจน์ค่าคงที่เมื่อเทียบกันแล้ว จะได้ 8 - 4 b^{2} = - 92 100 = 4 b^{2} b^{2} = 25 b = 5 จาก a = 2 b \to a = 10 จาก c^{2} = a^{2} - b^{2} = 100 - 25 = 75 c = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3}$

$พิจารณาตัวเลือก 1 จะได้ A + B + C = 4 - 4 - 8 = - 8 ดังนั้น ตัวเลือก 1 ผิด พิจารณาตัวเลือก 2 จะได้ ความเยื้องศูนย์กลางของวงรี = \frac{c}{a} = \frac{5 \sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2} ดังนั้น ตัวเลือก 2 ผิด$

$พิจารณาตัวเลือก 3 สมการวงกลม x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 20 = 0 (x^{2} - 4 x + 4) + (y^{2} - 2 y + 1) = 20 + 4 + 1 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5^{2}$
$จะได้ วงกลมมีจุดศูนย์กลาง คือ (2, 1), รัศมี 5 หน่วย โดยวงรีมีจุดศูนย์กลาง คือ (2, 1) แกนเอกยาว 2 a = 20 หน่วย ดังนั้น ตัวเลือก 3 ผิด พิจารณาตัวเลือก 4 แทนค่า (2, 6) ลงในสมการวงรี เพื่อดูว่า (2, 6) อยู่บนวงรีหรือไม่ จะได้ \frac{{(2 - 2)}^{2}}{10^{2}} + \frac{{(6 + 1)}^{2}}{5^{2}} = 1 \frac{5^{2}}{5^{2}} = 1 1 = 1$
$แสดงว่า จุด (2, 6) อยู่บนวงรี เนื่องจาก ผลบวกของระยะจากจุด (2.6) ไปยังโฟกัส ทั้งสองของวงรีเท่ากับ 2 a = 20 หน่วย ดังนั้น ตัวเลือก 4 ถูก$

ข้อถัดไป