ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2559

ข้อ 18

กำหนดให้ $A B C$ เป็นสามเหลี่ยมโดยที่มีความยาวด้านตรงข้ามมุม $A$ มุม $B$ และมุม $C$ เท่ากับ $a$ หน่วย $b$ หน่วย และ $c$ หน่วย ตามลำดับ ถ้า $b = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}, c = \frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ และมุม $A$ มีขนาด $60 °$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(ข) $\sin^{2} B + \sin^{2} C = 1$

(ค) $\sin B + \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ ข้อ (ค) ผิด
2
ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด
3
ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผิด
4
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$(ก) สูตรกฎของ cosine a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 bc cosA a^{2} = {(\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{2}})}^{2} - 2 (\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}) (\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}) \cos 60 ° = \frac{1}{6 + 2 \sqrt{12} + 2} + \frac{1}{6 - 2 \sqrt{12} + 2} - 2 (\frac{1}{6 - 2}) \frac{1}{2} = \frac{1}{8 + 4 \sqrt{3}} + \frac{1}{8 - 4 \sqrt{3}} - \frac{1}{4} = \frac{(8 - 4 \sqrt{3}) + 8 + 4 \sqrt{3}}{{(8)}^{2} - {(4 \sqrt{3})}^{2}} - \frac{1}{4}$

$= \frac{16}{64 - 48} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} a = \frac{\sqrt{3}}{2} ข้อ (ก) ถูก$

$(ข) สูตรกฎของ \sin; \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin 60 °} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}; \sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2} 1 = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} จะได้ 1 = \frac{b}{\sin B} และ 1 = \frac{c}{\sin C} \sin B = b \sin C = c$

$ดังนั้น \sin^{2} B + \sin^{2} C = b^{2} + c^{2}; b^{2} + c^{2} = 1 ได้จากข้อ (ก) = 1 ข้อ (ข) ถูก (ค) จาก (ข) \sin B = b และ \sin C = c แสดงว่า \sin B + \sin C = b + c = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$
$= \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) + (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{2 \sqrt{6}}{6 - 2} = \frac{\sqrt{6}}{2} ข้อ (ค) ผิด$

ข้อถัดไป