ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2559

ข้อ 19

กำหนดให้ $P$ เป็นพาราโบลามีสมการเป็น $y = a x^{2} + b x + 5$ เมื่อ $a > 0$ และ $b < 0$ ถ้าระยะทางระหว่างโฟกัสกับจุดยอดของ $P$ เท่ากับ $\frac{1}{2}$ หน่วย และเส้นตรง $2 x - y - 3 = 0$ สัมผัสกับ $P$ ที่จุด $C$ แล้ว ระยะทางระหว่างจุดยอดของ $P$ และจุด $C$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$\sqrt{2}$
2
$\sqrt{5}$
3
$\sqrt{6}$
4
$\sqrt{8}$
5
$\sqrt{13}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตรสมการพาราโบลา {(x - h)}^{2} = 4 c (y - k) x^{2} - 2 xh + h^{2} = 4 c (y - k); หาร 4 c ทั้ง 2 ข้าง \frac{1}{4 c} x^{2} - \frac{1}{4 c} 2 xh + \frac{1}{4 c} h^{2} = y - k y = \frac{1}{4 c} x^{2} - \frac{1}{4 c} 2 xh + \frac{1}{4 c} h^{2} + k \to 1$

$จากโจทย์ P เป็นพาราโบลา y = {ax}^{2} + bx + 5 \to 2; เทียบ ส . ป . ส จาก 1 จะได้ a = \frac{1}{4 c} c = \frac{1}{4 a}$

$จากโจทย์ ระยะทางระหว่างโฟกัสกับจุดยอด P เท่ากับ \frac{1}{2} หน่วย จะได้ c = \frac{1}{2}; โดย c = \frac{1}{4 a} \frac{1}{4 a} = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} จาก 2 y = {ax}^{2} + bx + 5; แทน a = \frac{1}{2} จะได้ y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + 5 \to 3$

$หาค่า b และจุด C จากโจทย์ เส้นตรง 2 x - y - 3 = 0 สัมผัสกับ P ที่จุด C แสดงว่า เส้นตรง 2 x - y - 3 = 0 สัมผัสกับ y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + 5 ที่จุด C จะได้ ความชันของเส้นตรง 2 x - y - 3 = 0 เท่ากับ \frac{dy}{dx} ที่จุด C m_{L} = {\frac{dy}{dx}}_{x = c}; Ax + By + C = 0 \to m_{L} = - \frac{A}{B} \frac{- 2}{- 1} = \frac{d}{dx} (\frac{1}{2} x^{2} + bx + 5)$

$2 = x + b x = 2 - b; แทนในเส้นตรง 2 x - y - 3 = 0 จะได้ 2 (2 - b) - y - 3 = 0 y = 1 - 2 b ดังนั้น จุด C = (2 - b, 1 - 2 b) โดย จุด C อยู่บนพาราโบลา P จาก 3 y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + 5; แทนจุด C$

$จะได้ 1 - 2 b = \frac{1}{2} {(2 - b)}^{2} + b (2 - b) + 5; คูณ 2 ทั้ง 2 ข้าง 2 - 4 b = (4 - 4 b + b^{2}) + 2 b (2 - b) + 10 b^{2} - 4 b - 12 = 0 (b - 6) (b - 2) = 0 b = 6, - 2; จากโจทย์ b < 0 ดังนั้น b = - 2; แทนในจุด C จะได้ C (2 - (- 2), 1 - 2 (- 2)) = C (4, 5) \to 4$

$จาก 3 y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + 5; แทน b = - 2 จะได้ y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 5; จัดรูปสมการ 2 y = x^{2} - 4 x + 10 2 y - 10 = x^{2} - 4 x; บวก 4 ทั้ง 2 ข้าง 2 y - 10 + 4 = x^{2} - 4 x + 4 2 y - 6 = {(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 2 (y - 3)$

$แสดงว่า จุดยอดของ P คือ (h, k) = (2, 3) \to 5 จาก 4, 5 จะได้ ระยะทางระหว่างจุดยอดของ P และจุด C = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} = \sqrt{{(4 - 2)}^{2} + {(5 - 3)}^{2}} = \sqrt{8}$

ข้อถัดไป