ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2559

ข้อ 25

กำหนดให้ $a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{n}, . . .$ เป็นลำดับของจำนวนจริง โดยที่ $a_{1} = 1$ และ $a_{n} = 2 a_{n - 1} + 3$ สำหรับ $n = 2, 3, 4, . . .$

ค่าของ $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{a_{n + 2} - a_{n + 1}}$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$0$
2
$0.5$
3
$1$
4
$2.5$
5
$4$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a_{1} = 1 และ a_{n} = 2 a_{n - 1} + 3; แทน n = 2, 3, 4, . . . n = 2 จะได้ a_{2} = 2 a_{1} + 3 = 2 (1) + 3 = 2 + 3 n = 3 จะได้ a_{3} = 2 a_{2} + 3 = 2 (2 + 3) + 3 = 2^{2} + 2 (3) + 3$
$n = 4 จะได้ a_{4} = 2 a_{3} + 3 = 2 (2^{2} + 2 (3) + 3) + 3 = 2^{3} + 2^{2} (3) + 2 (3) + 3 ⋮ ⋮$
$แสดงว่า เมื่อ n มากขึ้น a_{n} จะมีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้น \lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty และ \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{a_{n}}) = 0$

$จากโจทย์ a_{n} = 2 a_{n - 1} + 3 หาค่า a_{n + 1}, a_{n + 2} จะได้ a_{n + 1} = 2 a_{(n + 1) - 1} + 3 = 2 a_{n} + 3 \to 1 จะได้ a_{n + 2} = 2 a_{(n + 2) - 1} + 3 = 2 a_{n + 1} + 3; จาก 1 = 2 (2 a_{n} + 3) + 3 = 4 a_{n} + 9 \to 2$

$หาค่าของ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{a_{n + 2} - a_{n + 1}}; จาก 1, 2 = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{(4 a_{n} + 9) - (2 a_{n} + 3)} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 6} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{2 (a_{n} + 3)}; ดึง a_{n} ออกมา = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{2 a_{n} (1 + \frac{3}{a_{n}})}; ตัด a_{n} ทั้งเศษ และส่วน$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 (1 + \frac{3}{a_{n}})} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{6}{a_{n}}} = \frac{\lim_{n \to \infty} 1}{\lim_{n \to \infty} (2) + 6 \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{a_{n}})}; \lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_{n}} = 0 = \frac{1}{2 + 6 (0)} = \frac{1}{2} ดังนั้น \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{a_{n + 2} - a_{n + 1}} = \frac{1}{2}$